Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37350 / 26910
↖ ↑ ↗
← N 30.609550°
E 25.169678°		 ← 525.68 m → N 30.609550°
E 25.175171°		 →
↑
525.73 m
↓
↑
525.73 m
↓
N 30.604822°
E 25.169678°		 ← 525.70 m →
276 374 m²		 N 30.604822°
E 25.175171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569923400878906 y=0.410621643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569923400878906 × 216)
    floor (0.569923400878906 × 65536)
    floor (37350.5)     		tx = 37350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410621643066406 × 216)
    floor (0.410621643066406 × 65536)
    floor (26910.5)     		ty = 26910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37350 / 26910 ti = "16/37350/26910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37350/26910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37350 ÷ 216
    37350 ÷ 65536     		x = 0.569915771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26910 ÷ 216
    26910 ÷ 65536     		y = 0.410614013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569915771484375 × 2 - 1) × π
    0.13983154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43929375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410614013671875 × 2 - 1) × π
    0.17877197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.561628715948578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43929375} λ = 0.43929375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.561628715948578))-π/2
    2×atan(1.75352617179738)-π/2
    2×1.05251687664761-π/2
    2.10503375329522-1.57079632675     		φ = 0.53423743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43929375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.169678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53423743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.609550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37350 KachelY 26910 0.43929375 0.53423743 25.169678 30.609550
    Oben rechts KachelX + 1 37351 KachelY 26910 0.43938962 0.53423743 25.175171 30.609550
    Unten links KachelX 37350 KachelY + 1 26911 0.43929375 0.53415491 25.169678 30.604822
    Unten rechts KachelX + 1 37351 KachelY + 1 26911 0.43938962 0.53415491 25.175171 30.604822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53423743-0.53415491) × R
    8.25199999999748e-05 × 6371000     		dl = 525.73491999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53423743-0.53415491) × R
    8.25199999999748e-05 × 6371000     		dr = 525.73491999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43929375-0.43938962) × cos(0.53423743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860657168589826 × 6371000     		do = 525.678872737482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43929375-0.43938962) × cos(0.53415491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860699183595419 × 6371000     		du = 525.704534989055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53423743)-sin(0.53415491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860657168589826-0.860699183595419)×R²
    abs(0.43938962-0.43929375)×4.20150055925328e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.20150055925328e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.20150055925328e-05×40589641000000     		ar = 276374.486032012m²