Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3735 / 5323
↖ ↑ ↗
← S 47.368594°
W 15.864258°		 ← 3 309.52 m → S 47.368594°
W 15.820312°		 →
↑
3 308.59 m
↓
↑
3 308.59 m
↓
S 47.398349°
W 15.864258°		 ← 3 307.65 m →
10 946 751 m²		 S 47.398349°
W 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45599365234375 y=0.64984130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45599365234375 × 213)
    floor (0.45599365234375 × 8192)
    floor (3735.5)     		tx = 3735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64984130859375 × 213)
    floor (0.64984130859375 × 8192)
    floor (5323.5)     		ty = 5323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3735 / 5323 ti = "13/3735/5323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3735/5323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3735 ÷ 213
    3735 ÷ 8192     		x = 0.4559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5323 ÷ 213
    5323 ÷ 8192     		y = 0.6497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4559326171875 × 2 - 1) × π
    -0.088134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27688353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.299560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.941097213340942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27688353} λ = -0.27688353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941097213340942))-π/2
    2×atan(0.390199468334204)-π/2
    2×0.372029196723787-π/2
    0.744058393447574-1.57079632675     		φ = -0.82673793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27688353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.864258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82673793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.368594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3735 KachelY 5323 -0.27688353 -0.82673793 -15.864258 -47.368594
    Oben rechts KachelX + 1 3736 KachelY 5323 -0.27611654 -0.82673793 -15.820312 -47.368594
    Unten links KachelX 3735 KachelY + 1 5324 -0.27688353 -0.82725725 -15.864258 -47.398349
    Unten rechts KachelX + 1 3736 KachelY + 1 5324 -0.27611654 -0.82725725 -15.820312 -47.398349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82673793--0.82725725) × R
    0.000519320000000101 × 6371000     		dl = 3308.58772000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82673793--0.82725725) × R
    0.000519320000000101 × 6371000     		dr = 3308.58772000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27688353--0.27611654) × cos(-0.82673793) × R
    0.000766989999999967 × 0.677279348882573 × 6371000     		do = 3309.52099377012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27688353--0.27611654) × cos(-0.82725725) × R
    0.000766989999999967 × 0.676897180367001 × 6371000     		du = 3307.65352988313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82673793)-sin(-0.82725725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677279348882573-0.676897180367001)×R²
    abs(-0.27611654--0.27688353)×0.000382168515572046×R²
    0.000766989999999967×0.000382168515572046×6371000²
    0.000766989999999967×0.000382168515572046×40589641000000     		ar = 10946751.4310528m²