Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3735 / 3702
↖ ↑ ↗
← S 80.956099°
E148.271484°		 ← 1 536.23 m → S 80.956099°
E148.359375°		 →
↑
1 535.09 m
↓
↑
1 535.09 m
↓
S 80.969904°
E148.271484°		 ← 1 533.90 m →
2 356 466 m²		 S 80.969904°
E148.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9119873046875 y=0.9039306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9119873046875 × 212)
    floor (0.9119873046875 × 4096)
    floor (3735.5)     		tx = 3735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9039306640625 × 212)
    floor (0.9039306640625 × 4096)
    floor (3702.5)     		ty = 3702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3735 / 3702 ti = "12/3735/3702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3735/3702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3735 ÷ 212
    3735 ÷ 4096     		x = 0.911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3702 ÷ 212
    3702 ÷ 4096     		y = 0.90380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911865234375 × 2 - 1) × π
    0.82373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58782559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90380859375 × 2 - 1) × π
    -0.8076171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53720422309033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58782559} λ = 2.58782559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53720422309033))-π/2
    2×atan(0.0790872011620241)-π/2
    2×0.0789229260692746-π/2
    0.157845852138549-1.57079632675     		φ = -1.41295047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58782559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41295047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.956099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3735 KachelY 3702 2.58782559 -1.41295047 148.271484 -80.956099
    Oben rechts KachelX + 1 3736 KachelY 3702 2.58935957 -1.41295047 148.359375 -80.956099
    Unten links KachelX 3735 KachelY + 1 3703 2.58782559 -1.41319142 148.271484 -80.969904
    Unten rechts KachelX + 1 3736 KachelY + 1 3703 2.58935957 -1.41319142 148.359375 -80.969904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41295047--1.41319142) × R
    0.000240950000000018 × 6371000     		dl = 1535.09245000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41295047--1.41319142) × R
    0.000240950000000018 × 6371000     		dr = 1535.09245000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58782559-2.58935957) × cos(-1.41295047) × R
    0.00153398000000005 × 0.157191209669962 × 6371000     		do = 1536.22758259855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58782559-2.58935957) × cos(-1.41319142) × R
    0.00153398000000005 × 0.156953250554634 × 6371000     		du = 1533.90201135787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41295047)-sin(-1.41319142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157191209669962-0.156953250554634)×R²
    abs(2.58935957-2.58782559)×0.000237959115327147×R²
    0.00153398000000005×0.000237959115327147×6371000²
    0.00153398000000005×0.000237959115327147×40589641000000     		ar = 2356466.39149944m²