Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3735 / 3639
↖ ↑ ↗
← S 80.042864°
E148.271484°		 ← 1 689.86 m → S 80.042864°
E148.359375°		 →
↑
1 688.57 m
↓
↑
1 688.57 m
↓
S 80.058050°
E148.271484°		 ← 1 687.31 m →
2 851 294 m²		 S 80.058050°
E148.359375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9119873046875 y=0.8885498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9119873046875 × 212)
    floor (0.9119873046875 × 4096)
    floor (3735.5)     		tx = 3735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8885498046875 × 212)
    floor (0.8885498046875 × 4096)
    floor (3639.5)     		ty = 3639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3735 / 3639 ti = "12/3735/3639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3735/3639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3735 ÷ 212
    3735 ÷ 4096     		x = 0.911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3639 ÷ 212
    3639 ÷ 4096     		y = 0.888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911865234375 × 2 - 1) × π
    0.82373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58782559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.888427734375 × 2 - 1) × π
    -0.77685546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.4405634334563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58782559} λ = 2.58782559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4405634334563))-π/2
    2×atan(0.0871117559545127)-π/2
    2×0.0868924058413297-π/2
    0.173784811682659-1.57079632675     		φ = -1.39701152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58782559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39701152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.042864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3735 KachelY 3639 2.58782559 -1.39701152 148.271484 -80.042864
    Oben rechts KachelX + 1 3736 KachelY 3639 2.58935957 -1.39701152 148.359375 -80.042864
    Unten links KachelX 3735 KachelY + 1 3640 2.58782559 -1.39727656 148.271484 -80.058050
    Unten rechts KachelX + 1 3736 KachelY + 1 3640 2.58935957 -1.39727656 148.359375 -80.058050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39701152--1.39727656) × R
    0.000265039999999939 × 6371000     		dl = 1688.56983999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39701152--1.39727656) × R
    0.000265039999999939 × 6371000     		dr = 1688.56983999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58782559-2.58935957) × cos(-1.39701152) × R
    0.00153398000000005 × 0.172911376336893 × 6371000     		do = 1689.86056046984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58782559-2.58935957) × cos(-1.39727656) × R
    0.00153398000000005 × 0.172650322461766 × 6371000     		du = 1687.30928445156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39701152)-sin(-1.39727656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172911376336893-0.172650322461766)×R²
    abs(2.58935957-2.58782559)×0.000261053875127093×R²
    0.00153398000000005×0.000261053875127093×6371000²
    0.00153398000000005×0.000261053875127093×40589641000000     		ar = 2851293.58903681m²