Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3735 / 2219
↖ ↑ ↗
← N 63.332413°
W 15.864258°		 ← 2 193.12 m → N 63.332413°
W 15.820312°		 →
↑
2 193.92 m
↓
↑
2 193.92 m
↓
N 63.312683°
W 15.864258°		 ← 2 194.63 m →
4 813 183 m²		 N 63.312683°
W 15.820312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45599365234375 y=0.27093505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45599365234375 × 213)
    floor (0.45599365234375 × 8192)
    floor (3735.5)     		tx = 3735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27093505859375 × 213)
    floor (0.27093505859375 × 8192)
    floor (2219.5)     		ty = 2219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3735 / 2219 ti = "13/3735/2219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3735/2219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3735 ÷ 213
    3735 ÷ 8192     		x = 0.4559326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2219 ÷ 213
    2219 ÷ 8192     		y = 0.2708740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4559326171875 × 2 - 1) × π
    -0.088134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27688353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2708740234375 × 2 - 1) × π
    0.458251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43964096938953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27688353} λ = -0.27688353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43964096938953))-π/2
    2×atan(4.21918072999833)-π/2
    2×1.33807772661394-π/2
    2.67615545322788-1.57079632675     		φ = 1.10535913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27688353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.864258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10535913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.332413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3735 KachelY 2219 -0.27688353 1.10535913 -15.864258 63.332413
    Oben rechts KachelX + 1 3736 KachelY 2219 -0.27611654 1.10535913 -15.820312 63.332413
    Unten links KachelX 3735 KachelY + 1 2220 -0.27688353 1.10501477 -15.864258 63.312683
    Unten rechts KachelX + 1 3736 KachelY + 1 2220 -0.27611654 1.10501477 -15.820312 63.312683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10535913-1.10501477) × R
    0.000344360000000155 × 6371000     		dl = 2193.91756000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10535913-1.10501477) × R
    0.000344360000000155 × 6371000     		dr = 2193.91756000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27688353--0.27611654) × cos(1.10535913) × R
    0.000766989999999967 × 0.448813534500879 × 6371000     		do = 2193.12432479964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27688353--0.27611654) × cos(1.10501477) × R
    0.000766989999999967 × 0.449121236737269 × 6371000     		du = 2194.62790971307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10535913)-sin(1.10501477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448813534500879-0.449121236737269)×R²
    abs(-0.27611654--0.27688353)×0.000307702236389706×R²
    0.000766989999999967×0.000307702236389706×6371000²
    0.000766989999999967×0.000307702236389706×40589641000000     		ar = 4813183.38567794m²