Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37348 / 26876
↖ ↑ ↗
← N 30.770159°
E 25.158691°		 ← 524.81 m → N 30.770159°
E 25.164184°		 →
↑
524.84 m
↓
↑
524.84 m
↓
N 30.765439°
E 25.158691°		 ← 524.83 m →
275 447 m²		 N 30.765439°
E 25.164184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569892883300781 y=0.410102844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569892883300781 × 216)
    floor (0.569892883300781 × 65536)
    floor (37348.5)     		tx = 37348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410102844238281 × 216)
    floor (0.410102844238281 × 65536)
    floor (26876.5)     		ty = 26876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37348 / 26876 ti = "16/37348/26876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37348/26876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37348 ÷ 216
    37348 ÷ 65536     		x = 0.56988525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26876 ÷ 216
    26876 ÷ 65536     		y = 0.41009521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56988525390625 × 2 - 1) × π
    0.1397705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43910200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41009521484375 × 2 - 1) × π
    0.1798095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.564888425122742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43910200} λ = 0.43910200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564888425122742))-π/2
    2×atan(1.75925148350265)-π/2
    2×1.053918457357-π/2
    2.10783691471401-1.57079632675     		φ = 0.53704059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43910200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.158691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53704059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.770159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37348 KachelY 26876 0.43910200 0.53704059 25.158691 30.770159
    Oben rechts KachelX + 1 37349 KachelY 26876 0.43919787 0.53704059 25.164184 30.770159
    Unten links KachelX 37348 KachelY + 1 26877 0.43910200 0.53695821 25.158691 30.765439
    Unten rechts KachelX + 1 37349 KachelY + 1 26877 0.43919787 0.53695821 25.164184 30.765439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53704059-0.53695821) × R
    8.23800000000485e-05 × 6371000     		dl = 524.842980000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53704059-0.53695821) × R
    8.23800000000485e-05 × 6371000     		dr = 524.842980000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43910200-0.43919787) × cos(0.53704059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859226462388219 × 6371000     		do = 524.805014887078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43910200-0.43919787) × cos(0.53695821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859268604704328 × 6371000     		du = 524.830754898356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53704059)-sin(0.53695821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859226462388219-0.859268604704328)×R²
    abs(0.43919787-0.43910200)×4.21423161088841e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21423161088841e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21423161088841e-05×40589641000000     		ar = 275446.982820387m²