Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37344 / 38690
↖ ↑ ↗
← S 30.911651°
E 25.136719°		 ← 524.03 m → S 30.911651°
E 25.142212°		 →
↑
524.01 m
↓
↑
524.01 m
↓
S 30.916364°
E 25.136719°		 ← 524.01 m →
274 594 m²		 S 30.916364°
E 25.142212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569831848144531 y=0.590370178222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569831848144531 × 216)
    floor (0.569831848144531 × 65536)
    floor (37344.5)     		tx = 37344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590370178222656 × 216)
    floor (0.590370178222656 × 65536)
    floor (38690.5)     		ty = 38690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37344 / 38690 ti = "16/37344/38690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37344/38690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37344 ÷ 216
    37344 ÷ 65536     		x = 0.56982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38690 ÷ 216
    38690 ÷ 65536     		y = 0.590362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56982421875 × 2 - 1) × π
    0.1396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43871851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.18072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.567764639099945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43871851} λ = 0.43871851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567764639099945))-π/2
    2×atan(0.566791006126177)-π/2
    2×0.515643119776282-π/2
    1.03128623955256-1.57079632675     		φ = -0.53951009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43871851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53951009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.911651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37344 KachelY 38690 0.43871851 -0.53951009 25.136719 -30.911651
    Oben rechts KachelX + 1 37345 KachelY 38690 0.43881438 -0.53951009 25.142212 -30.911651
    Unten links KachelX 37344 KachelY + 1 38691 0.43871851 -0.53959234 25.136719 -30.916364
    Unten rechts KachelX + 1 37345 KachelY + 1 38691 0.43881438 -0.53959234 25.142212 -30.916364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53951009--0.53959234) × R
    8.22499999999504e-05 × 6371000     		dl = 524.014749999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53951009--0.53959234) × R
    8.22499999999504e-05 × 6371000     		dr = 524.014749999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43871851-0.43881438) × cos(-0.53951009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.857960458787316 × 6371000     		do = 524.03175537087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43871851-0.43881438) × cos(-0.53959234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.8579182027665 × 6371000     		du = 524.005945910147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53951009)-sin(-0.53959234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857960458787316-0.8579182027665)×R²
    abs(0.43881438-0.43871851)×4.22560208155343e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22560208155343e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22560208155343e-05×40589641000000     		ar = 274593.607168463m²