Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37344 / 38682
↖ ↑ ↗
← S 30.873940°
E 25.136719°		 ← 524.24 m → S 30.873940°
E 25.142212°		 →
↑
524.27 m
↓
↑
524.27 m
↓
S 30.878655°
E 25.136719°		 ← 524.21 m →
274 835 m²		 S 30.878655°
E 25.142212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569831848144531 y=0.590248107910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569831848144531 × 216)
    floor (0.569831848144531 × 65536)
    floor (37344.5)     		tx = 37344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590248107910156 × 216)
    floor (0.590248107910156 × 65536)
    floor (38682.5)     		ty = 38682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37344 / 38682 ti = "16/37344/38682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37344/38682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37344 ÷ 216
    37344 ÷ 65536     		x = 0.56982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38682 ÷ 216
    38682 ÷ 65536     		y = 0.590240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56982421875 × 2 - 1) × π
    0.1396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43871851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.18048095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.566997648706024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43871851} λ = 0.43871851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.566997648706024))-π/2
    2×atan(0.567225896140149)-π/2
    2×0.515972208296853-π/2
    1.03194441659371-1.57079632675     		φ = -0.53885191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43871851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53885191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.873940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37344 KachelY 38682 0.43871851 -0.53885191 25.136719 -30.873940
    Oben rechts KachelX + 1 37345 KachelY 38682 0.43881438 -0.53885191 25.142212 -30.873940
    Unten links KachelX 37344 KachelY + 1 38683 0.43871851 -0.53893420 25.136719 -30.878655
    Unten rechts KachelX + 1 37345 KachelY + 1 38683 0.43881438 -0.53893420 25.142212 -30.878655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53885191--0.53893420) × R
    8.22900000000404e-05 × 6371000     		dl = 524.269590000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53885191--0.53893420) × R
    8.22900000000404e-05 × 6371000     		dr = 524.269590000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43871851-0.43881438) × cos(-0.53885191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858298390347396 × 6371000     		do = 524.238159834864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43871851-0.43881438) × cos(-0.53893420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.858256160251676 × 6371000     		du = 524.212366208872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53885191)-sin(-0.53893420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858298390347396-0.858256160251676)×R²
    abs(0.43881438-0.43871851)×4.22300957203525e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22300957203525e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22300957203525e-05×40589641000000     		ar = 274835.363867216m²