Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37344 / 27040
↖ ↑ ↗
← N 29.993002°
E 25.136719°		 ← 529 m → N 29.993002°
E 25.142212°		 →
↑
528.98 m
↓
↑
528.98 m
↓
N 29.988245°
E 25.136719°		 ← 529.02 m →
279 837 m²		 N 29.988245°
E 25.142212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569831848144531 y=0.412605285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569831848144531 × 216)
    floor (0.569831848144531 × 65536)
    floor (37344.5)     		tx = 37344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412605285644531 × 216)
    floor (0.412605285644531 × 65536)
    floor (27040.5)     		ty = 27040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37344 / 27040 ti = "16/37344/27040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37344/27040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37344 ÷ 216
    37344 ÷ 65536     		x = 0.56982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27040 ÷ 216
    27040 ÷ 65536     		y = 0.41259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56982421875 × 2 - 1) × π
    0.1396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43871851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41259765625 × 2 - 1) × π
    0.1748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.549165122047363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43871851} λ = 0.43871851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.549165122047363))-π/2
    2×atan(1.73180656702541)-π/2
    2×1.04713648460245-π/2
    2.0942729692049-1.57079632675     		φ = 0.52347664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43871851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.136719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52347664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.993002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37344 KachelY 27040 0.43871851 0.52347664 25.136719 29.993002
    Oben rechts KachelX + 1 37345 KachelY 27040 0.43881438 0.52347664 25.142212 29.993002
    Unten links KachelX 37344 KachelY + 1 27041 0.43871851 0.52339361 25.136719 29.988245
    Unten rechts KachelX + 1 37345 KachelY + 1 27041 0.43881438 0.52339361 25.142212 29.988245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52347664-0.52339361) × R
    8.3030000000095e-05 × 6371000     		dl = 528.984130000605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52347664-0.52339361) × R
    8.3030000000095e-05 × 6371000     		dr = 528.984130000605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43871851-0.43881438) × cos(0.52347664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.866086465124141 × 6371000     		do = 528.995020660345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43871851-0.43881438) × cos(0.52339361) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.866127968356098 × 6371000     		du = 529.02037032684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52347664)-sin(0.52339361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866086465124141-0.866127968356098)×R²
    abs(0.43881438-0.43871851)×4.15032319577291e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.15032319577291e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.15032319577291e-05×40589641000000     		ar = 279836.675725107m²