Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37341 / 38689
↖ ↑ ↗
← S 30.906938°
E 25.120239°		 ← 524.11 m → S 30.906938°
E 25.125733°		 →
↑
524.08 m
↓
↑
524.08 m
↓
S 30.911651°
E 25.120239°		 ← 524.09 m →
274 669 m²		 S 30.911651°
E 25.125733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569786071777344 y=0.590354919433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569786071777344 × 216)
    floor (0.569786071777344 × 65536)
    floor (37341.5)     		tx = 37341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590354919433594 × 216)
    floor (0.590354919433594 × 65536)
    floor (38689.5)     		ty = 38689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37341 / 38689 ti = "16/37341/38689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37341/38689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37341 ÷ 216
    37341 ÷ 65536     		x = 0.569778442382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38689 ÷ 216
    38689 ÷ 65536     		y = 0.590347290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569778442382812 × 2 - 1) × π
    0.139556884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43843088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590347290039062 × 2 - 1) × π
    -0.180694580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.567668765300705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43843088} λ = 0.43843088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567668765300705))-π/2
    2×atan(0.566845349138303)-π/2
    2×0.515684248753526-π/2
    1.03136849750705-1.57079632675     		φ = -0.53942783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43843088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.120239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53942783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.906938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37341 KachelY 38689 0.43843088 -0.53942783 25.120239 -30.906938
    Oben rechts KachelX + 1 37342 KachelY 38689 0.43852676 -0.53942783 25.125733 -30.906938
    Unten links KachelX 37341 KachelY + 1 38690 0.43843088 -0.53951009 25.120239 -30.911651
    Unten rechts KachelX + 1 37342 KachelY + 1 38690 0.43852676 -0.53951009 25.125733 -30.911651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53942783--0.53951009) × R
    8.22600000000007e-05 × 6371000     		dl = 524.078460000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53942783--0.53951009) × R
    8.22600000000007e-05 × 6371000     		dr = 524.078460000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43843088-0.43852676) × cos(-0.53942783) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.858002714140427 × 6371000     		do = 524.112227776656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43843088-0.43852676) × cos(-0.53951009) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.857960458787316 × 6371000     		du = 524.086416031671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53942783)-sin(-0.53951009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858002714140427-0.857960458787316)×R²
    abs(0.43852676-0.43843088)×4.22553531109759e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.22553531109759e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.22553531109759e-05×40589641000000     		ar = 274669.165665573m²