Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3734 / 4050
↖ ↑ ↗
← N 79.265870°
W138.977051°		 ← 227.53 m → N 79.265870°
W138.966064°		 →
↑
227.57 m
↓
↑
227.57 m
↓
N 79.263824°
W138.977051°		 ← 227.58 m →
51 785 m²		 N 79.263824°
W138.966064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113967895507812 y=0.123611450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113967895507812 × 215)
    floor (0.113967895507812 × 32768)
    floor (3734.5)     		tx = 3734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123611450195312 × 215)
    floor (0.123611450195312 × 32768)
    floor (4050.5)     		ty = 4050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3734 / 4050 ti = "15/3734/4050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3734/4050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3734 ÷ 215
    3734 ÷ 32768     		x = 0.11395263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4050 ÷ 215
    4050 ÷ 32768     		y = 0.12359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.7720947265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.42560712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12359619140625 × 2 - 1) × π
    0.7528076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36501487965509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42560712} λ = -2.42560712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36501487965509))-π/2
    2×atan(10.6441971983147)-π/2
    2×1.47712337102378-π/2
    2.95424674204756-1.57079632675     		φ = 1.38345042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42560712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.977051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38345042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.265870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3734 KachelY 4050 -2.42560712 1.38345042 -138.977051 79.265870
    Oben rechts KachelX + 1 3735 KachelY 4050 -2.42541537 1.38345042 -138.966064 79.265870
    Unten links KachelX 3734 KachelY + 1 4051 -2.42560712 1.38341470 -138.977051 79.263824
    Unten rechts KachelX + 1 3735 KachelY + 1 4051 -2.42541537 1.38341470 -138.966064 79.263824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38345042-1.38341470) × R
    3.57199999998503e-05 × 6371000     		dl = 227.572119999046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38345042-1.38341470) × R
    3.57199999998503e-05 × 6371000     		dr = 227.572119999046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42560712--2.42541537) × cos(1.38345042) × R
    0.000191749999999935 × 0.186251902088078 × 6371000     		do = 227.532633977876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42560712--2.42541537) × cos(1.38341470) × R
    0.000191749999999935 × 0.186286996941579 × 6371000     		du = 227.575507228386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38345042)-sin(1.38341470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186251902088078-0.186286996941579)×R²
    abs(-2.42541537--2.42560712)×3.50948535013385e-05×R²
    0.000191749999999935×3.50948535013385e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.50948535013385e-05×40589641000000     		ar = 51784.9622673861m²