Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3734 / 3977
↖ ↑ ↗
← N 79.414222°
W138.977051°		 ← 224.42 m → N 79.414222°
W138.966064°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
N 79.412203°
W138.977051°		 ← 224.47 m →
50 377 m²		 N 79.412203°
W138.966064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113967895507812 y=0.121383666992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113967895507812 × 215)
    floor (0.113967895507812 × 32768)
    floor (3734.5)     		tx = 3734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121383666992188 × 215)
    floor (0.121383666992188 × 32768)
    floor (3977.5)     		ty = 3977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3734 / 3977 ti = "15/3734/3977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3734/3977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3734 ÷ 215
    3734 ÷ 32768     		x = 0.11395263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3977 ÷ 215
    3977 ÷ 32768     		y = 0.121368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11395263671875 × 2 - 1) × π
    -0.7720947265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.42560712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121368408203125 × 2 - 1) × π
    0.75726318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37901245434415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42560712} λ = -2.42560712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37901245434415))-π/2
    2×atan(10.7942377960336)-π/2
    2×1.4784179844656-π/2
    2.9568359689312-1.57079632675     		φ = 1.38603964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42560712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.977051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38603964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.414222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3734 KachelY 3977 -2.42560712 1.38603964 -138.977051 79.414222
    Oben rechts KachelX + 1 3735 KachelY 3977 -2.42541537 1.38603964 -138.966064 79.414222
    Unten links KachelX 3734 KachelY + 1 3978 -2.42560712 1.38600441 -138.977051 79.412203
    Unten rechts KachelX + 1 3735 KachelY + 1 3978 -2.42541537 1.38600441 -138.966064 79.412203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38603964-1.38600441) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dl = 224.450329999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38603964-1.38600441) × R
    3.52299999999417e-05 × 6371000     		dr = 224.450329999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42560712--2.42541537) × cos(1.38603964) × R
    0.000191749999999935 × 0.18370736671591 × 6371000     		do = 224.424129694223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42560712--2.42541537) × cos(1.38600441) × R
    0.000191749999999935 × 0.183741997021758 × 6371000     		du = 224.466435435087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38603964)-sin(1.38600441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18370736671591-0.183741997021758)×R²
    abs(-2.42541537--2.42560712)×3.46303058486874e-05×R²
    0.000191749999999935×3.46303058486874e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.46303058486874e-05×40589641000000     		ar = 50376.8177435256m²