Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37339 / 28101
↖ ↑ ↗
← N 24.821639°
E 25.109253°		 ← 554.36 m → N 24.821639°
E 25.114746°		 →
↑
554.40 m
↓
↑
554.40 m
↓
N 24.816653°
E 25.109253°		 ← 554.38 m →
307 347 m²		 N 24.816653°
E 25.114746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569755554199219 y=0.428794860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569755554199219 × 216)
    floor (0.569755554199219 × 65536)
    floor (37339.5)     		tx = 37339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428794860839844 × 216)
    floor (0.428794860839844 × 65536)
    floor (28101.5)     		ty = 28101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37339 / 28101 ti = "16/37339/28101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37339/28101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37339 ÷ 216
    37339 ÷ 65536     		x = 0.569747924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28101 ÷ 216
    28101 ÷ 65536     		y = 0.428787231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569747924804688 × 2 - 1) × π
    0.139495849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43823914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428787231445312 × 2 - 1) × π
    0.142425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.447443021053604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43823914} λ = 0.43823914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447443021053604))-π/2
    2×atan(1.56430716680684)-π/2
    2×1.00200782965144-π/2
    2.00401565930287-1.57079632675     		φ = 0.43321933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43823914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.109253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43321933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.821639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37339 KachelY 28101 0.43823914 0.43321933 25.109253 24.821639
    Oben rechts KachelX + 1 37340 KachelY 28101 0.43833501 0.43321933 25.114746 24.821639
    Unten links KachelX 37339 KachelY + 1 28102 0.43823914 0.43313231 25.109253 24.816653
    Unten rechts KachelX + 1 37340 KachelY + 1 28102 0.43833501 0.43313231 25.114746 24.816653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43321933-0.43313231) × R
    8.70199999999932e-05 × 6371000     		dl = 554.404419999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43321933-0.43313231) × R
    8.70199999999932e-05 × 6371000     		dr = 554.404419999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43823914-0.43833501) × cos(0.43321933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.907618997017305 × 6371000     		do = 554.362583197824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43823914-0.43833501) × cos(0.43313231) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.907655524132805 × 6371000     		du = 554.384893513245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43321933)-sin(0.43313231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907618997017305-0.907655524132805)×R²
    abs(0.43833501-0.43823914)×3.65271155005065e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65271155005065e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65271155005065e-05×40589641000000     		ar = 307347.251070007m²