Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37337 / 27276
↖ ↑ ↗
← N 28.863918°
E 25.098267°		 ← 534.91 m → N 28.863918°
E 25.103760°		 →
↑
534.91 m
↓
↑
534.91 m
↓
N 28.859108°
E 25.098267°		 ← 534.93 m →
286 134 m²		 N 28.859108°
E 25.103760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569725036621094 y=0.416206359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569725036621094 × 216)
    floor (0.569725036621094 × 65536)
    floor (37337.5)     		tx = 37337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416206359863281 × 216)
    floor (0.416206359863281 × 65536)
    floor (27276.5)     		ty = 27276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37337 / 27276 ti = "16/37337/27276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37337/27276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37337 ÷ 216
    37337 ÷ 65536     		x = 0.569717407226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27276 ÷ 216
    27276 ÷ 65536     		y = 0.41619873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569717407226562 × 2 - 1) × π
    0.139434814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43804739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41619873046875 × 2 - 1) × π
    0.1676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.526538905426697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43804739} λ = 0.43804739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526538905426697))-π/2
    2×atan(1.69306230739928)-π/2
    2×1.0372833691732-π/2
    2.0745667383464-1.57079632675     		φ = 0.50377041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43804739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.098267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50377041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.863918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37337 KachelY 27276 0.43804739 0.50377041 25.098267 28.863918
    Oben rechts KachelX + 1 37338 KachelY 27276 0.43814326 0.50377041 25.103760 28.863918
    Unten links KachelX 37337 KachelY + 1 27277 0.43804739 0.50368645 25.098267 28.859108
    Unten rechts KachelX + 1 37338 KachelY + 1 27277 0.43814326 0.50368645 25.103760 28.859108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50377041-0.50368645) × R
    8.3959999999994e-05 × 6371000     		dl = 534.909159999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50377041-0.50368645) × R
    8.3959999999994e-05 × 6371000     		dr = 534.909159999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43804739-0.43814326) × cos(0.50377041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875768697482478 × 6371000     		do = 534.908809771116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43804739-0.43814326) × cos(0.50368645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.875809224487825 × 6371000     		du = 534.933563170336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50377041)-sin(0.50368645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875768697482478-0.875809224487825)×R²
    abs(0.43814326-0.43804739)×4.05270053462914e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.05270053462914e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.05270053462914e-05×40589641000000     		ar = 286134.242689367m²