Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37336 / 26872
↖ ↑ ↗
← N 30.789036°
E 25.092773°		 ← 524.76 m → N 30.789036°
E 25.098267°		 →
↑
524.72 m
↓
↑
524.72 m
↓
N 30.784318°
E 25.092773°		 ← 524.78 m →
275 355 m²		 N 30.784318°
E 25.098267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569709777832031 y=0.410041809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569709777832031 × 216)
    floor (0.569709777832031 × 65536)
    floor (37336.5)     		tx = 37336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410041809082031 × 216)
    floor (0.410041809082031 × 65536)
    floor (26872.5)     		ty = 26872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37336 / 26872 ti = "16/37336/26872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37336/26872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37336 ÷ 216
    37336 ÷ 65536     		x = 0.5697021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26872 ÷ 216
    26872 ÷ 65536     		y = 0.4100341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5697021484375 × 2 - 1) × π
    0.139404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43795151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4100341796875 × 2 - 1) × π
    0.179931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.565271920319702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43795151} λ = 0.43795151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.565271920319702))-π/2
    2×atan(1.75992627737865)-π/2
    2×1.05408319580403-π/2
    2.10816639160806-1.57079632675     		φ = 0.53737006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43795151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.092773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53737006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.789036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37336 KachelY 26872 0.43795151 0.53737006 25.092773 30.789036
    Oben rechts KachelX + 1 37337 KachelY 26872 0.43804739 0.53737006 25.098267 30.789036
    Unten links KachelX 37336 KachelY + 1 26873 0.43795151 0.53728770 25.092773 30.784318
    Unten rechts KachelX + 1 37337 KachelY + 1 26873 0.43804739 0.53728770 25.098267 30.784318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53737006-0.53728770) × R
    8.2359999999948e-05 × 6371000     		dl = 524.715559999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53737006-0.53728770) × R
    8.2359999999948e-05 × 6371000     		dr = 524.715559999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43795151-0.43804739) × cos(0.53737006) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.859057860409472 × 6371000     		do = 524.756765436719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43795151-0.43804739) × cos(0.53728770) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.859100015808611 × 6371000     		du = 524.782516124673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53737006)-sin(0.53728770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859057860409472-0.859100015808611)×R²
    abs(0.43804739-0.43795151)×4.21553991384327e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.21553991384327e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.21553991384327e-05×40589641000000     		ar = 275354.796088895m²