Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37332 / 30556
↖ ↑ ↗
← N 12.060809°
E 25.070801°		 ← 597.31 m → N 12.060809°
E 25.076294°		 →
↑
597.34 m
↓
↑
597.34 m
↓
N 12.055437°
E 25.070801°		 ← 597.32 m →
356 801 m²		 N 12.055437°
E 25.076294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569648742675781 y=0.466255187988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569648742675781 × 216)
    floor (0.569648742675781 × 65536)
    floor (37332.5)     		tx = 37332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466255187988281 × 216)
    floor (0.466255187988281 × 65536)
    floor (30556.5)     		ty = 30556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37332 / 30556 ti = "16/37332/30556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37332/30556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37332 ÷ 216
    37332 ÷ 65536     		x = 0.56964111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30556 ÷ 216
    30556 ÷ 65536     		y = 0.46624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56964111328125 × 2 - 1) × π
    0.1392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43756802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46624755859375 × 2 - 1) × π
    0.0675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.212072843919128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43756802} λ = 0.43756802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.212072843919128))-π/2
    2×atan(1.2362379342148)-π/2
    2×0.890648577655918-π/2
    1.78129715531184-1.57079632675     		φ = 0.21050083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43756802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.070801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21050083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.060809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37332 KachelY 30556 0.43756802 0.21050083 25.070801 12.060809
    Oben rechts KachelX + 1 37333 KachelY 30556 0.43766389 0.21050083 25.076294 12.060809
    Unten links KachelX 37332 KachelY + 1 30557 0.43756802 0.21040707 25.070801 12.055437
    Unten rechts KachelX + 1 37333 KachelY + 1 30557 0.43766389 0.21040707 25.076294 12.055437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21050083-0.21040707) × R
    9.37599999999983e-05 × 6371000     		dl = 597.344959999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21050083-0.21040707) × R
    9.37599999999983e-05 × 6371000     		dr = 597.344959999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43756802-0.43766389) × cos(0.21050083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977926389096791 × 6371000     		do = 597.305478420569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43756802-0.43766389) × cos(0.21040707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977945975922275 × 6371000     		du = 597.317441814027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21050083)-sin(0.21040707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977926389096791-0.977945975922275)×R²
    abs(0.43766389-0.43756802)×1.95868254831977e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.95868254831977e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.95868254831977e-05×40589641000000     		ar = 356800.990512714m²