Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37332 / 28111
↖ ↑ ↗
← N 24.771772°
E 25.070801°		 ← 554.59 m → N 24.771772°
E 25.076294°		 →
↑
554.60 m
↓
↑
554.60 m
↓
N 24.766785°
E 25.070801°		 ← 554.61 m →
307 577 m²		 N 24.766785°
E 25.076294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569648742675781 y=0.428947448730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569648742675781 × 216)
    floor (0.569648742675781 × 65536)
    floor (37332.5)     		tx = 37332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428947448730469 × 216)
    floor (0.428947448730469 × 65536)
    floor (28111.5)     		ty = 28111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37332 / 28111 ti = "16/37332/28111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37332/28111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37332 ÷ 216
    37332 ÷ 65536     		x = 0.56964111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28111 ÷ 216
    28111 ÷ 65536     		y = 0.428939819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56964111328125 × 2 - 1) × π
    0.1392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43756802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428939819335938 × 2 - 1) × π
    0.142120361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.446484283061203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43756802} λ = 0.43756802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446484283061203))-π/2
    2×atan(1.56280812480332)-π/2
    2×1.00157265773266-π/2
    2.00314531546532-1.57079632675     		φ = 0.43234899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43756802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.070801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43234899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.771772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37332 KachelY 28111 0.43756802 0.43234899 25.070801 24.771772
    Oben rechts KachelX + 1 37333 KachelY 28111 0.43766389 0.43234899 25.076294 24.771772
    Unten links KachelX 37332 KachelY + 1 28112 0.43756802 0.43226194 25.070801 24.766785
    Unten rechts KachelX + 1 37333 KachelY + 1 28112 0.43766389 0.43226194 25.076294 24.766785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43234899-0.43226194) × R
    8.70499999999774e-05 × 6371000     		dl = 554.595549999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43234899-0.43226194) × R
    8.70499999999774e-05 × 6371000     		dr = 554.595549999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43756802-0.43766389) × cos(0.43234899) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.907984017505651 × 6371000     		do = 554.585533247905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43756802-0.43766389) × cos(0.43226194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908020488433387 × 6371000     		du = 554.607809244527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43234899)-sin(0.43226194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907984017505651-0.908020488433387)×R²
    abs(0.43766389-0.43756802)×3.64709277366204e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64709277366204e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64709277366204e-05×40589641000000     		ar = 307576.846112125m²