Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37331 / 30572
↖ ↑ ↗
← N 11.974845°
E 25.065308°		 ← 597.50 m → N 11.974845°
E 25.070801°		 →
↑
597.54 m
↓
↑
597.54 m
↓
N 11.969471°
E 25.065308°		 ← 597.51 m →
357 029 m²		 N 11.969471°
E 25.070801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569633483886719 y=0.466499328613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569633483886719 × 216)
    floor (0.569633483886719 × 65536)
    floor (37331.5)     		tx = 37331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466499328613281 × 216)
    floor (0.466499328613281 × 65536)
    floor (30572.5)     		ty = 30572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37331 / 30572 ti = "16/37331/30572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37331/30572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37331 ÷ 216
    37331 ÷ 65536     		x = 0.569625854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30572 ÷ 216
    30572 ÷ 65536     		y = 0.46649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569625854492188 × 2 - 1) × π
    0.139251708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43747215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46649169921875 × 2 - 1) × π
    0.0670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.210538863131287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43747215} λ = 0.43747215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.210538863131287))-π/2
    2×atan(1.234343022725)-π/2
    2×0.889898397571419-π/2
    1.77979679514284-1.57079632675     		φ = 0.20900047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43747215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.065308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20900047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.974845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37331 KachelY 30572 0.43747215 0.20900047 25.065308 11.974845
    Oben rechts KachelX + 1 37332 KachelY 30572 0.43756802 0.20900047 25.070801 11.974845
    Unten links KachelX 37331 KachelY + 1 30573 0.43747215 0.20890668 25.065308 11.969471
    Unten rechts KachelX + 1 37332 KachelY + 1 30573 0.43756802 0.20890668 25.070801 11.969471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20900047-0.20890668) × R
    9.37899999999825e-05 × 6371000     		dl = 597.536089999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20900047-0.20890668) × R
    9.37899999999825e-05 × 6371000     		dr = 597.536089999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43747215-0.43756802) × cos(0.20900047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978238788057297 × 6371000     		do = 597.496287885006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43747215-0.43756802) × cos(0.20890668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978258243512547 × 6371000     		du = 597.508171039132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20900047)-sin(0.20890668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978238788057297-0.978258243512547)×R²
    abs(0.43756802-0.43747215)×1.94554552500614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94554552500614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94554552500614e-05×40589641000000     		ar = 357029.146220756m²