Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37331 / 28053
↖ ↑ ↗
← N 25.060721°
E 25.065308°		 ← 553.29 m → N 25.060721°
E 25.070801°		 →
↑
553.32 m
↓
↑
553.32 m
↓
N 25.055745°
E 25.065308°		 ← 553.31 m →
306 152 m²		 N 25.055745°
E 25.070801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569633483886719 y=0.428062438964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569633483886719 × 216)
    floor (0.569633483886719 × 65536)
    floor (37331.5)     		tx = 37331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428062438964844 × 216)
    floor (0.428062438964844 × 65536)
    floor (28053.5)     		ty = 28053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37331 / 28053 ti = "16/37331/28053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37331/28053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37331 ÷ 216
    37331 ÷ 65536     		x = 0.569625854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28053 ÷ 216
    28053 ÷ 65536     		y = 0.428054809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569625854492188 × 2 - 1) × π
    0.139251708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43747215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428054809570312 × 2 - 1) × π
    0.143890380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.45204496341713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43747215} λ = 0.43747215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.45204496341713))-π/2
    2×atan(1.57152260801564)-π/2
    2×1.0040942127803-π/2
    2.00818842556059-1.57079632675     		φ = 0.43739210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43747215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.065308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43739210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.060721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37331 KachelY 28053 0.43747215 0.43739210 25.065308 25.060721
    Oben rechts KachelX + 1 37332 KachelY 28053 0.43756802 0.43739210 25.070801 25.060721
    Unten links KachelX 37331 KachelY + 1 28054 0.43747215 0.43730525 25.065308 25.055745
    Unten rechts KachelX + 1 37332 KachelY + 1 28054 0.43756802 0.43730525 25.070801 25.055745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43739210-0.43730525) × R
    8.68500000000272e-05 × 6371000     		dl = 553.321350000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43739210-0.43730525) × R
    8.68500000000272e-05 × 6371000     		dr = 553.321350000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43747215-0.43756802) × cos(0.43739210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905859392821073 × 6371000     		do = 553.287838474725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43747215-0.43756802) × cos(0.43730525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905896177198853 × 6371000     		du = 553.3103059228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43739210)-sin(0.43730525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905859392821073-0.905896177198853)×R²
    abs(0.43756802-0.43747215)×3.67843777799859e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67843777799859e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67843777799859e-05×40589641000000     		ar = 306152.189775257m²