Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37330 / 30534
↖ ↑ ↗
← N 12.178965°
E 25.059814°		 ← 597.10 m → N 12.178965°
E 25.065308°		 →
↑
597.09 m
↓
↑
597.09 m
↓
N 12.173595°
E 25.059814°		 ← 597.12 m →
356 528 m²		 N 12.173595°
E 25.065308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569618225097656 y=0.465919494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569618225097656 × 216)
    floor (0.569618225097656 × 65536)
    floor (37330.5)     		tx = 37330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465919494628906 × 216)
    floor (0.465919494628906 × 65536)
    floor (30534.5)     		ty = 30534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37330 / 30534 ti = "16/37330/30534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37330/30534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37330 ÷ 216
    37330 ÷ 65536     		x = 0.569610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30534 ÷ 216
    30534 ÷ 65536     		y = 0.465911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569610595703125 × 2 - 1) × π
    0.13922119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43737627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.465911865234375 × 2 - 1) × π
    0.06817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.214182067502411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43737627} λ = 0.43737627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.214182067502411))-π/2
    2×atan(1.23884818825717)-π/2
    2×0.891679682394697-π/2
    1.78335936478939-1.57079632675     		φ = 0.21256304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43737627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.059814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21256304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.178965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37330 KachelY 30534 0.43737627 0.21256304 25.059814 12.178965
    Oben rechts KachelX + 1 37331 KachelY 30534 0.43747215 0.21256304 25.065308 12.178965
    Unten links KachelX 37330 KachelY + 1 30535 0.43737627 0.21246932 25.059814 12.173595
    Unten rechts KachelX + 1 37331 KachelY + 1 30535 0.43747215 0.21246932 25.065308 12.173595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21256304-0.21246932) × R
    9.37200000000193e-05 × 6371000     		dl = 597.090120000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21256304-0.21246932) × R
    9.37200000000193e-05 × 6371000     		dr = 597.090120000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43737627-0.43747215) × cos(0.21256304) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.977493411821532 × 6371000     		do = 597.103297301386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43737627-0.43747215) × cos(0.21246932) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.977513179256969 × 6371000     		du = 597.115372268579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21256304)-sin(0.21246932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977493411821532-0.977513179256969)×R²
    abs(0.43747215-0.43737627)×1.97674354367461e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.97674354367461e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.97674354367461e-05×40589641000000     		ar = 356528.084620921m²