Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37330 / 28114
↖ ↑ ↗
← N 24.756808°
E 25.059814°		 ← 554.71 m → N 24.756808°
E 25.065308°		 →
↑
554.72 m
↓
↑
554.72 m
↓
N 24.751820°
E 25.059814°		 ← 554.73 m →
307 717 m²		 N 24.751820°
E 25.065308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569618225097656 y=0.428993225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569618225097656 × 216)
    floor (0.569618225097656 × 65536)
    floor (37330.5)     		tx = 37330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428993225097656 × 216)
    floor (0.428993225097656 × 65536)
    floor (28114.5)     		ty = 28114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37330 / 28114 ti = "16/37330/28114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37330/28114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37330 ÷ 216
    37330 ÷ 65536     		x = 0.569610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28114 ÷ 216
    28114 ÷ 65536     		y = 0.428985595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569610595703125 × 2 - 1) × π
    0.13922119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43737627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428985595703125 × 2 - 1) × π
    0.14202880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.446196661663483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43737627} λ = 0.43737627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446196661663483))-π/2
    2×atan(1.56235869238238)-π/2
    2×1.00144207204936-π/2
    2.00288414409872-1.57079632675     		φ = 0.43208782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43737627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.059814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43208782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.756808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37330 KachelY 28114 0.43737627 0.43208782 25.059814 24.756808
    Oben rechts KachelX + 1 37331 KachelY 28114 0.43747215 0.43208782 25.065308 24.756808
    Unten links KachelX 37330 KachelY + 1 28115 0.43737627 0.43200075 25.059814 24.751820
    Unten rechts KachelX + 1 37331 KachelY + 1 28115 0.43747215 0.43200075 25.065308 24.751820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43208782-0.43200075) × R
    8.70700000000224e-05 × 6371000     		dl = 554.722970000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43208782-0.43200075) × R
    8.70700000000224e-05 × 6371000     		dr = 554.722970000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43737627-0.43747215) × cos(0.43208782) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.90809341802181 × 6371000     		do = 554.710208376839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43737627-0.43747215) × cos(0.43200075) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.908129876678781 × 6371000     		du = 554.732479201409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43208782)-sin(0.43200075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90809341802181-0.908129876678781)×R²
    abs(0.43747215-0.43737627)×3.64586569711056e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.64586569711056e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.64586569711056e-05×40589641000000     		ar = 307716.671543659m²