Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3733 / 3734
↖ ↑ ↗
← N 69.488372°
W 97.976074°		 ← 856.10 m → N 69.488372°
W 97.954102°		 →
↑
856.26 m
↓
↑
856.26 m
↓
N 69.480672°
W 97.976074°		 ← 856.40 m →
733 175 m²		 N 69.480672°
W 97.954102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227874755859375 y=0.227935791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227874755859375 × 214)
    floor (0.227874755859375 × 16384)
    floor (3733.5)     		tx = 3733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227935791015625 × 214)
    floor (0.227935791015625 × 16384)
    floor (3734.5)     		ty = 3734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3733 / 3734 ti = "14/3733/3734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3733/3734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3733 ÷ 214
    3733 ÷ 16384     		x = 0.22784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3734 ÷ 214
    3734 ÷ 16384     		y = 0.2279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.5443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71000508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2279052734375 × 2 - 1) × π
    0.544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70962158804968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71000508} λ = -1.71000508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70962158804968))-π/2
    2×atan(5.52686964833959)-π/2
    2×1.39179860849896-π/2
    2.78359721699792-1.57079632675     		φ = 1.21280089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71000508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.976074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21280089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.488372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3733 KachelY 3734 -1.71000508 1.21280089 -97.976074 69.488372
    Oben rechts KachelX + 1 3734 KachelY 3734 -1.70962159 1.21280089 -97.954102 69.488372
    Unten links KachelX 3733 KachelY + 1 3735 -1.71000508 1.21266649 -97.976074 69.480672
    Unten rechts KachelX + 1 3734 KachelY + 1 3735 -1.70962159 1.21266649 -97.954102 69.480672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21280089-1.21266649) × R
    0.00013440000000009 × 6371000     		dl = 856.262400000573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21280089-1.21266649) × R
    0.00013440000000009 × 6371000     		dr = 856.262400000573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71000508--1.70962159) × cos(1.21280089) × R
    0.000383489999999931 × 0.350397462428099 × 6371000     		do = 856.096262582646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71000508--1.70962159) × cos(1.21266649) × R
    0.000383489999999931 × 0.350523338450724 × 6371000     		du = 856.403804742831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21280089)-sin(1.21266649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350397462428099-0.350523338450724)×R²
    abs(-1.70962159--1.71000508)×0.000125876022625704×R²
    0.000383489999999931×0.000125876022625704×6371000²
    0.000383489999999931×0.000125876022625704×40589641000000     		ar = 733174.709927192m²