Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3733 / 3410
↖ ↑ ↗
← N 28.844674°
W 15.952148°		 ← 4 280.23 m → N 28.844674°
W 15.908203°		 →
↑
4 281.06 m
↓
↑
4 281.06 m
↓
N 28.806173°
W 15.952148°		 ← 4 281.81 m →
18 327 298 m²		 N 28.806173°
W 15.908203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45574951171875 y=0.41632080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45574951171875 × 213)
    floor (0.45574951171875 × 8192)
    floor (3733.5)     		tx = 3733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41632080078125 × 213)
    floor (0.41632080078125 × 8192)
    floor (3410.5)     		ty = 3410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3733 / 3410 ti = "13/3733/3410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3733/3410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3733 ÷ 213
    3733 ÷ 8192     		x = 0.4556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3410 ÷ 213
    3410 ÷ 8192     		y = 0.416259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4556884765625 × 2 - 1) × π
    -0.088623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27841751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416259765625 × 2 - 1) × π
    0.16748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.526155410229736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27841751} λ = -0.27841751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526155410229736))-π/2
    2×atan(1.69241315061844)-π/2
    2×1.03711542708727-π/2
    2.07423085417454-1.57079632675     		φ = 0.50343453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27841751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.952148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50343453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.844674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3733 KachelY 3410 -0.27841751 0.50343453 -15.952148 28.844674
    Oben rechts KachelX + 1 3734 KachelY 3410 -0.27765052 0.50343453 -15.908203 28.844674
    Unten links KachelX 3733 KachelY + 1 3411 -0.27841751 0.50276257 -15.952148 28.806173
    Unten rechts KachelX + 1 3734 KachelY + 1 3411 -0.27765052 0.50276257 -15.908203 28.806173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50343453-0.50276257) × R
    0.000671960000000027 × 6371000     		dl = 4281.05716000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50343453-0.50276257) × R
    0.000671960000000027 × 6371000     		dr = 4281.05716000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27841751--0.27765052) × cos(0.50343453) × R
    0.000766989999999967 × 0.875930787757238 × 6371000     		do = 4280.22991687998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27841751--0.27765052) × cos(0.50276257) × R
    0.000766989999999967 × 0.876254768202742 × 6371000     		du = 4281.81304515302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50343453)-sin(0.50276257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875930787757238-0.876254768202742)×R²
    abs(-0.27765052--0.27841751)×0.000323980445503746×R²
    0.000766989999999967×0.000323980445503746×6371000²
    0.000766989999999967×0.000323980445503746×40589641000000     		ar = 18327298.3530308m²