Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37328 / 28109
↖ ↑ ↗
← N 24.781748°
E 25.048828°		 ← 554.60 m → N 24.781748°
E 25.054321°		 →
↑
554.60 m
↓
↑
554.60 m
↓
N 24.776760°
E 25.048828°		 ← 554.62 m →
307 584 m²		 N 24.776760°
E 25.054321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569587707519531 y=0.428916931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569587707519531 × 216)
    floor (0.569587707519531 × 65536)
    floor (37328.5)     		tx = 37328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428916931152344 × 216)
    floor (0.428916931152344 × 65536)
    floor (28109.5)     		ty = 28109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37328 / 28109 ti = "16/37328/28109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37328/28109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37328 ÷ 216
    37328 ÷ 65536     		x = 0.569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28109 ÷ 216
    28109 ÷ 65536     		y = 0.428909301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569580078125 × 2 - 1) × π
    0.13916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43718452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428909301757812 × 2 - 1) × π
    0.142181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.446676030659683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43718452} λ = 0.43718452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.446676030659683))-π/2
    2×atan(1.56310781823996)-π/2
    2×1.00165970611277-π/2
    2.00331941222553-1.57079632675     		φ = 0.43252309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43718452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.048828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43252309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.781748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37328 KachelY 28109 0.43718452 0.43252309 25.048828 24.781748
    Oben rechts KachelX + 1 37329 KachelY 28109 0.43728040 0.43252309 25.054321 24.781748
    Unten links KachelX 37328 KachelY + 1 28110 0.43718452 0.43243604 25.048828 24.776760
    Unten rechts KachelX + 1 37329 KachelY + 1 28110 0.43728040 0.43243604 25.054321 24.776760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43252309-0.43243604) × R
    8.70499999999774e-05 × 6371000     		dl = 554.595549999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43252309-0.43243604) × R
    8.70499999999774e-05 × 6371000     		dr = 554.595549999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43718452-0.43728040) × cos(0.43252309) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.907911055009156 × 6371000     		do = 554.598811660662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43718452-0.43728040) × cos(0.43243604) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.907947539697481 × 6371000     		du = 554.621098386523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43252309)-sin(0.43243604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907911055009156-0.907947539697481)×R²
    abs(0.43728040-0.43718452)×3.6484688325733e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.6484688325733e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.6484688325733e-05×40589641000000     		ar = 307584.21323594m²