Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37327 / 45387
↖ ↑ ↗
← S 56.785836°
E 25.043335°		 ← 334.57 m → S 56.785836°
E 25.048828°		 →
↑
334.60 m
↓
↑
334.60 m
↓
S 56.788845°
E 25.043335°		 ← 334.54 m →
111 945 m²		 S 56.788845°
E 25.048828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569572448730469 y=0.692558288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569572448730469 × 216)
    floor (0.569572448730469 × 65536)
    floor (37327.5)     		tx = 37327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692558288574219 × 216)
    floor (0.692558288574219 × 65536)
    floor (45387.5)     		ty = 45387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37327 / 45387 ti = "16/37327/45387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37327/45387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37327 ÷ 216
    37327 ÷ 65536     		x = 0.569564819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45387 ÷ 216
    45387 ÷ 65536     		y = 0.692550659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569564819335938 × 2 - 1) × π
    0.139129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43708865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692550659179688 × 2 - 1) × π
    -0.385101318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20983147261098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43708865} λ = 0.43708865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20983147261098))-π/2
    2×atan(0.298247538073663)-π/2
    2×0.289848256785005-π/2
    0.579696513570011-1.57079632675     		φ = -0.99109981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43708865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.043335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99109981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.785836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37327 KachelY 45387 0.43708865 -0.99109981 25.043335 -56.785836
    Oben rechts KachelX + 1 37328 KachelY 45387 0.43718452 -0.99109981 25.048828 -56.785836
    Unten links KachelX 37327 KachelY + 1 45388 0.43708865 -0.99115233 25.043335 -56.788845
    Unten rechts KachelX + 1 37328 KachelY + 1 45388 0.43718452 -0.99115233 25.048828 -56.788845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99109981--0.99115233) × R
    5.25200000000003e-05 × 6371000     		dl = 334.604920000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99109981--0.99115233) × R
    5.25200000000003e-05 × 6371000     		dr = 334.604920000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43708865-0.43718452) × cos(-0.99109981) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547770059192759 × 6371000     		do = 334.571252927106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43708865-0.43718452) × cos(-0.99115233) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.547726118686039 × 6371000     		du = 334.544414602994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99109981)-sin(-0.99115233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547770059192759-0.547726118686039)×R²
    abs(0.43718452-0.43708865)×4.3940506720519e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3940506720519e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3940506720519e-05×40589641000000     		ar = 111944.6972279m²