Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37327 / 27571
↖ ↑ ↗
← N 27.435165°
E 25.043335°		 ← 542.09 m → N 27.435165°
E 25.048828°		 →
↑
542.11 m
↓
↑
542.11 m
↓
N 27.430290°
E 25.043335°		 ← 542.12 m →
293 880 m²		 N 27.430290°
E 25.048828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569572448730469 y=0.420707702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569572448730469 × 216)
    floor (0.569572448730469 × 65536)
    floor (37327.5)     		tx = 37327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420707702636719 × 216)
    floor (0.420707702636719 × 65536)
    floor (27571.5)     		ty = 27571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37327 / 27571 ti = "16/37327/27571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37327/27571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37327 ÷ 216
    37327 ÷ 65536     		x = 0.569564819335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27571 ÷ 216
    27571 ÷ 65536     		y = 0.420700073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569564819335938 × 2 - 1) × π
    0.139129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43708865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420700073242188 × 2 - 1) × π
    0.158599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.498256134650864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43708865} λ = 0.43708865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498256134650864))-π/2
    2×atan(1.64584862828455)-π/2
    2×1.02481514525972-π/2
    2.04963029051943-1.57079632675     		φ = 0.47883396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43708865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.043335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47883396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.435165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37327 KachelY 27571 0.43708865 0.47883396 25.043335 27.435165
    Oben rechts KachelX + 1 37328 KachelY 27571 0.43718452 0.47883396 25.048828 27.435165
    Unten links KachelX 37327 KachelY + 1 27572 0.43708865 0.47874887 25.043335 27.430290
    Unten rechts KachelX + 1 37328 KachelY + 1 27572 0.43718452 0.47874887 25.048828 27.430290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47883396-0.47874887) × R
    8.50900000000099e-05 × 6371000     		dl = 542.108390000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47883396-0.47874887) × R
    8.50900000000099e-05 × 6371000     		dr = 542.108390000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43708865-0.43718452) × cos(0.47883396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887532772646178 × 6371000     		do = 542.094163006464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43708865-0.43718452) × cos(0.47874887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.887571974190313 × 6371000     		du = 542.118106830187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47883396)-sin(0.47874887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887532772646178-0.887571974190313)×R²
    abs(0.43718452-0.43708865)×3.9201544134948e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9201544134948e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9201544134948e-05×40589641000000     		ar = 293880.284187011m²