Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37323 / 38474
↖ ↑ ↗
← S 29.888281°
E 25.021363°		 ← 529.55 m → S 29.888281°
E 25.026856°		 →
↑
529.56 m
↓
↑
529.56 m
↓
S 29.893043°
E 25.021363°		 ← 529.53 m →
280 422 m²		 S 29.893043°
E 25.026856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569511413574219 y=0.587074279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569511413574219 × 216)
    floor (0.569511413574219 × 65536)
    floor (37323.5)     		tx = 37323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587074279785156 × 216)
    floor (0.587074279785156 × 65536)
    floor (38474.5)     		ty = 38474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37323 / 38474 ti = "16/37323/38474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37323/38474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37323 ÷ 216
    37323 ÷ 65536     		x = 0.569503784179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38474 ÷ 216
    38474 ÷ 65536     		y = 0.587066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569503784179688 × 2 - 1) × π
    0.139007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43670516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587066650390625 × 2 - 1) × π
    -0.17413330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.547055898464081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43670516} λ = 0.43670516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.547055898464081))-π/2
    2×atan(0.578650912082719)-π/2
    2×0.52457370838189-π/2
    1.04914741676378-1.57079632675     		φ = -0.52164891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43670516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.021363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52164891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.888281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37323 KachelY 38474 0.43670516 -0.52164891 25.021363 -29.888281
    Oben rechts KachelX + 1 37324 KachelY 38474 0.43680103 -0.52164891 25.026856 -29.888281
    Unten links KachelX 37323 KachelY + 1 38475 0.43670516 -0.52173203 25.021363 -29.893043
    Unten rechts KachelX + 1 37324 KachelY + 1 38475 0.43680103 -0.52173203 25.026856 -29.893043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52164891--0.52173203) × R
    8.31199999999921e-05 × 6371000     		dl = 529.55751999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52164891--0.52173203) × R
    8.31199999999921e-05 × 6371000     		dr = 529.55751999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43670516-0.43680103) × cos(-0.52164891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.866998689662495 × 6371000     		do = 529.552196251866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43670516-0.43680103) × cos(-0.52173203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.866957267105627 × 6371000     		du = 529.526895860729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52164891)-sin(-0.52173203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866998689662495-0.866957267105627)×R²
    abs(0.43680103-0.43670516)×4.14225568680093e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.14225568680093e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.14225568680093e-05×40589641000000     		ar = 280421.648912796m²