Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37321 / 27467
↖ ↑ ↗
← N 27.941033°
E 25.010376°		 ← 539.59 m → N 27.941033°
E 25.015869°		 →
↑
539.62 m
↓
↑
539.62 m
↓
N 27.936180°
E 25.010376°		 ← 539.61 m →
291 181 m²		 N 27.936180°
E 25.015869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569480895996094 y=0.419120788574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569480895996094 × 216)
    floor (0.569480895996094 × 65536)
    floor (37321.5)     		tx = 37321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419120788574219 × 216)
    floor (0.419120788574219 × 65536)
    floor (27467.5)     		ty = 27467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37321 / 27467 ti = "16/37321/27467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37321/27467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37321 ÷ 216
    37321 ÷ 65536     		x = 0.569473266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27467 ÷ 216
    27467 ÷ 65536     		y = 0.419113159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569473266601562 × 2 - 1) × π
    0.138946533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43651341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419113159179688 × 2 - 1) × π
    0.161773681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.508227009771835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43651341} λ = 0.43651341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508227009771835))-π/2
    2×atan(1.66234126580073)-π/2
    2×1.02922967891206-π/2
    2.05845935782412-1.57079632675     		φ = 0.48766303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43651341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.010376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48766303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.941033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37321 KachelY 27467 0.43651341 0.48766303 25.010376 27.941033
    Oben rechts KachelX + 1 37322 KachelY 27467 0.43660928 0.48766303 25.015869 27.941033
    Unten links KachelX 37321 KachelY + 1 27468 0.43651341 0.48757833 25.010376 27.936180
    Unten rechts KachelX + 1 37322 KachelY + 1 27468 0.43660928 0.48757833 25.015869 27.936180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48766303-0.48757833) × R
    8.46999999999931e-05 × 6371000     		dl = 539.623699999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48766303-0.48757833) × R
    8.46999999999931e-05 × 6371000     		dr = 539.623699999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43651341-0.43660928) × cos(0.48766303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883430286792949 × 6371000     		do = 539.588414820714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43651341-0.43660928) × cos(0.48757833) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883469970877867 × 6371000     		du = 539.612653374446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48766303)-sin(0.48757833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883430286792949-0.883469970877867)×R²
    abs(0.43660928-0.43651341)×3.9684084918501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9684084918501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9684084918501e-05×40589641000000     		ar = 291181.236905865m²