Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37320 / 27465
↖ ↑ ↗
← N 27.950739°
E 25.004883°		 ← 539.60 m → N 27.950739°
E 25.010376°		 →
↑
539.56 m
↓
↑
539.56 m
↓
N 27.945886°
E 25.004883°		 ← 539.62 m →
291 151 m²		 N 27.945886°
E 25.010376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569465637207031 y=0.419090270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569465637207031 × 216)
    floor (0.569465637207031 × 65536)
    floor (37320.5)     		tx = 37320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419090270996094 × 216)
    floor (0.419090270996094 × 65536)
    floor (27465.5)     		ty = 27465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37320 / 27465 ti = "16/37320/27465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37320/27465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37320 ÷ 216
    37320 ÷ 65536     		x = 0.5694580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27465 ÷ 216
    27465 ÷ 65536     		y = 0.419082641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5694580078125 × 2 - 1) × π
    0.138916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43641753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419082641601562 × 2 - 1) × π
    0.161834716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.508418757370316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43641753} λ = 0.43641753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508418757370316))-π/2
    2×atan(1.66266004630802)-π/2
    2×1.02931437292481-π/2
    2.05862874584962-1.57079632675     		φ = 0.48783242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43641753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.004883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48783242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.950739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37320 KachelY 27465 0.43641753 0.48783242 25.004883 27.950739
    Oben rechts KachelX + 1 37321 KachelY 27465 0.43651341 0.48783242 25.010376 27.950739
    Unten links KachelX 37320 KachelY + 1 27466 0.43641753 0.48774773 25.004883 27.945886
    Unten rechts KachelX + 1 37321 KachelY + 1 27466 0.43651341 0.48774773 25.010376 27.945886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48783242-0.48774773) × R
    8.46899999999984e-05 × 6371000     		dl = 539.55998999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48783242-0.48774773) × R
    8.46899999999984e-05 × 6371000     		dr = 539.55998999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43641753-0.43651341) × cos(0.48783242) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.883350904297094 × 6371000     		do = 539.596207249176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43641753-0.43651341) × cos(0.48774773) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.883390596370222 × 6371000     		du = 539.620453210791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48783242)-sin(0.48774773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883350904297094-0.883390596370222)×R²
    abs(0.43651341-0.43641753)×3.96920731280392e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.96920731280392e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.96920731280392e-05×40589641000000     		ar = 291151.065436848m²