Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37319 / 28353
↖ ↑ ↗
← N 23.558952°
E 24.999390°		 ← 559.88 m → N 23.558952°
E 25.004883°		 →
↑
559.88 m
↓
↑
559.88 m
↓
N 23.553917°
E 24.999390°		 ← 559.90 m →
313 473 m²		 N 23.553917°
E 25.004883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569450378417969 y=0.432640075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569450378417969 × 216)
    floor (0.569450378417969 × 65536)
    floor (37319.5)     		tx = 37319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432640075683594 × 216)
    floor (0.432640075683594 × 65536)
    floor (28353.5)     		ty = 28353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37319 / 28353 ti = "16/37319/28353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37319/28353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37319 ÷ 216
    37319 ÷ 65536     		x = 0.569442749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28353 ÷ 216
    28353 ÷ 65536     		y = 0.432632446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569442749023438 × 2 - 1) × π
    0.138885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43632166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432632446289062 × 2 - 1) × π
    0.134735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.423282823645096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43632166} λ = 0.43632166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423282823645096))-π/2
    2×atan(1.5269660970193)-π/2
    2×0.990988803052227-π/2
    1.98197760610445-1.57079632675     		φ = 0.41118128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43632166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.999390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41118128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.558952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37319 KachelY 28353 0.43632166 0.41118128 24.999390 23.558952
    Oben rechts KachelX + 1 37320 KachelY 28353 0.43641753 0.41118128 25.004883 23.558952
    Unten links KachelX 37319 KachelY + 1 28354 0.43632166 0.41109340 24.999390 23.553917
    Unten rechts KachelX + 1 37320 KachelY + 1 28354 0.43641753 0.41109340 25.004883 23.553917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41118128-0.41109340) × R
    8.78799999999846e-05 × 6371000     		dl = 559.883479999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41118128-0.41109340) × R
    8.78799999999846e-05 × 6371000     		dr = 559.883479999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43632166-0.43641753) × cos(0.41118128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916649313813741 × 6371000     		do = 559.878190256313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43632166-0.43641753) × cos(0.41109340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916684435244509 × 6371000     		du = 559.899641996691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41118128)-sin(0.41109340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916649313813741-0.916684435244509)×R²
    abs(0.43641753-0.43632166)×3.51214307677816e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51214307677816e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51214307677816e-05×40589641000000     		ar = 313472.554976088m²