Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37318 / 28094
↖ ↑ ↗
← N 24.856534°
E 24.993897°		 ← 554.21 m → N 24.856534°
E 24.999390°		 →
↑
554.21 m
↓
↑
554.21 m
↓
N 24.851550°
E 24.993897°		 ← 554.23 m →
307 155 m²		 N 24.851550°
E 24.999390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569435119628906 y=0.428688049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569435119628906 × 216)
    floor (0.569435119628906 × 65536)
    floor (37318.5)     		tx = 37318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428688049316406 × 216)
    floor (0.428688049316406 × 65536)
    floor (28094.5)     		ty = 28094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37318 / 28094 ti = "16/37318/28094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37318/28094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37318 ÷ 216
    37318 ÷ 65536     		x = 0.569427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28094 ÷ 216
    28094 ÷ 65536     		y = 0.428680419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569427490234375 × 2 - 1) × π
    0.13885498046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43622579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428680419921875 × 2 - 1) × π
    0.14263916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.448114137648285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43622579} λ = 0.43622579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448114137648285))-π/2
    2×atan(1.56535735166448)-π/2
    2×1.00231234581964-π/2
    2.00462469163928-1.57079632675     		φ = 0.43382836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43622579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.993897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43382836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.856534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37318 KachelY 28094 0.43622579 0.43382836 24.993897 24.856534
    Oben rechts KachelX + 1 37319 KachelY 28094 0.43632166 0.43382836 24.999390 24.856534
    Unten links KachelX 37318 KachelY + 1 28095 0.43622579 0.43374137 24.993897 24.851550
    Unten rechts KachelX + 1 37319 KachelY + 1 28095 0.43632166 0.43374137 24.999390 24.851550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43382836-0.43374137) × R
    8.6990000000009e-05 × 6371000     		dl = 554.213290000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43382836-0.43374137) × R
    8.6990000000009e-05 × 6371000     		dr = 554.213290000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43622579-0.43632166) × cos(0.43382836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90736316102058 × 6371000     		do = 554.206321699899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43622579-0.43632166) × cos(0.43374137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.907399723624013 × 6371000     		du = 554.228653690915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43382836)-sin(0.43374137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90736316102058-0.907399723624013)×R²
    abs(0.43632166-0.43622579)×3.65626034335431e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65626034335431e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65626034335431e-05×40589641000000     		ar = 307154.697424993m²