Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37317 / 45397
↖ ↑ ↗
← S 56.815914°
E 24.988403°		 ← 334.34 m → S 56.815914°
E 24.993897°		 →
↑
334.29 m
↓
↑
334.29 m
↓
S 56.818920°
E 24.988403°		 ← 334.31 m →
111 760 m²		 S 56.818920°
E 24.993897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569419860839844 y=0.692710876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569419860839844 × 216)
    floor (0.569419860839844 × 65536)
    floor (37317.5)     		tx = 37317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.692710876464844 × 216)
    floor (0.692710876464844 × 65536)
    floor (45397.5)     		ty = 45397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37317 / 45397 ti = "16/37317/45397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37317/45397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37317 ÷ 216
    37317 ÷ 65536     		x = 0.569412231445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45397 ÷ 216
    45397 ÷ 65536     		y = 0.692703247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569412231445312 × 2 - 1) × π
    0.138824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43612991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.692703247070312 × 2 - 1) × π
    -0.385406494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.21079021060338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43612991} λ = 0.43612991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21079021060338))-π/2
    2×atan(0.297961733855345)-π/2
    2×0.28958577809713-π/2
    0.579171556194261-1.57079632675     		φ = -0.99162477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43612991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.988403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99162477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.815914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37317 KachelY 45397 0.43612991 -0.99162477 24.988403 -56.815914
    Oben rechts KachelX + 1 37318 KachelY 45397 0.43622579 -0.99162477 24.993897 -56.815914
    Unten links KachelX 37317 KachelY + 1 45398 0.43612991 -0.99167724 24.988403 -56.818920
    Unten rechts KachelX + 1 37318 KachelY + 1 45398 0.43622579 -0.99167724 24.993897 -56.818920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99162477--0.99167724) × R
    5.24699999999712e-05 × 6371000     		dl = 334.286369999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99162477--0.99167724) × R
    5.24699999999712e-05 × 6371000     		dr = 334.286369999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43612991-0.43622579) × cos(-0.99162477) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.547330787013119 × 6371000     		do = 334.337821296503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43612991-0.43622579) × cos(-0.99167724) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.547286873257802 × 6371000     		du = 334.310996514075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99162477)-sin(-0.99167724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547330787013119-0.547286873257802)×R²
    abs(0.43622579-0.43612991)×4.39137553174263e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.39137553174263e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.39137553174263e-05×40589641000000     		ar = 111760.093081213m²