Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37315 / 28134
↖ ↑ ↗
← N 24.657002°
E 24.977417°		 ← 555.10 m → N 24.657002°
E 24.982910°		 →
↑
555.11 m
↓
↑
555.11 m
↓
N 24.652010°
E 24.977417°		 ← 555.12 m →
308 143 m²		 N 24.652010°
E 24.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569389343261719 y=0.429298400878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569389343261719 × 216)
    floor (0.569389343261719 × 65536)
    floor (37315.5)     		tx = 37315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429298400878906 × 216)
    floor (0.429298400878906 × 65536)
    floor (28134.5)     		ty = 28134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37315 / 28134 ti = "16/37315/28134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37315/28134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37315 ÷ 216
    37315 ÷ 65536     		x = 0.569381713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28134 ÷ 216
    28134 ÷ 65536     		y = 0.429290771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569381713867188 × 2 - 1) × π
    0.138763427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43593817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429290771484375 × 2 - 1) × π
    0.14141845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.44427918567868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43593817} λ = 0.43593817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44427918567868))-π/2
    2×atan(1.55936577744835)-π/2
    2×1.00057109918924-π/2
    2.00114219837847-1.57079632675     		φ = 0.43034587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43593817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.977417°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43034587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.657002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37315 KachelY 28134 0.43593817 0.43034587 24.977417 24.657002
    Oben rechts KachelX + 1 37316 KachelY 28134 0.43603404 0.43034587 24.982910 24.657002
    Unten links KachelX 37315 KachelY + 1 28135 0.43593817 0.43025874 24.977417 24.652010
    Unten rechts KachelX + 1 37316 KachelY + 1 28135 0.43603404 0.43025874 24.982910 24.652010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43034587-0.43025874) × R
    8.71300000000463e-05 × 6371000     		dl = 555.105230000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43034587-0.43025874) × R
    8.71300000000463e-05 × 6371000     		dr = 555.105230000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43593817-0.43603404) × cos(0.43034587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90882151220533 × 6371000     		do = 555.097064767909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43593817-0.43603404) × cos(0.43025874) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908857858098682 × 6371000     		du = 555.119264395058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43034587)-sin(0.43025874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90882151220533-0.908857858098682)×R²
    abs(0.43603404-0.43593817)×3.63458933516636e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63458933516636e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63458933516636e-05×40589641000000     		ar = 308143.445569986m²