Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37314 / 28352
↖ ↑ ↗
← N 23.563987°
E 24.971924°		 ← 559.92 m → N 23.563987°
E 24.977417°		 →
↑
559.88 m
↓
↑
559.88 m
↓
N 23.558952°
E 24.971924°		 ← 559.94 m →
313 493 m²		 N 23.558952°
E 24.977417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569374084472656 y=0.432624816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569374084472656 × 216)
    floor (0.569374084472656 × 65536)
    floor (37314.5)     		tx = 37314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432624816894531 × 216)
    floor (0.432624816894531 × 65536)
    floor (28352.5)     		ty = 28352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37314 / 28352 ti = "16/37314/28352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37314/28352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37314 ÷ 216
    37314 ÷ 65536     		x = 0.569366455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28352 ÷ 216
    28352 ÷ 65536     		y = 0.4326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569366455078125 × 2 - 1) × π
    0.13873291015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43584229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.423378697444336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43584229} λ = 0.43584229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423378697444336))-π/2
    2×atan(1.52711250007833)-π/2
    2×0.991032743536421-π/2
    1.98206548707284-1.57079632675     		φ = 0.41126916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43584229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.971924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41126916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.563987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37314 KachelY 28352 0.43584229 0.41126916 24.971924 23.563987
    Oben rechts KachelX + 1 37315 KachelY 28352 0.43593817 0.41126916 24.977417 23.563987
    Unten links KachelX 37314 KachelY + 1 28353 0.43584229 0.41118128 24.971924 23.558952
    Unten rechts KachelX + 1 37315 KachelY + 1 28353 0.43593817 0.41118128 24.977417 23.558952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41126916-0.41118128) × R
    8.78800000000401e-05 × 6371000     		dl = 559.883480000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41126916-0.41118128) × R
    8.78800000000401e-05 × 6371000     		dr = 559.883480000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43584229-0.43593817) × cos(0.41126916) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.916614185303787 × 6371000     		do = 559.91513168177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43584229-0.43593817) × cos(0.41118128) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.916649313813741 × 6371000     		du = 559.936589984065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41126916)-sin(0.41118128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916614185303787-0.916649313813741)×R²
    abs(0.43593817-0.43584229)×3.51285099537968e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.51285099537968e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.51285099537968e-05×40589641000000     		ar = 313493.239706944m²