Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37312 / 27626
↖ ↑ ↗
← N 27.166695°
E 24.960937°		 ← 543.46 m → N 27.166695°
E 24.966431°		 →
↑
543.45 m
↓
↑
543.45 m
↓
N 27.161808°
E 24.960937°		 ← 543.49 m →
295 350 m²		 N 27.161808°
E 24.966431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569343566894531 y=0.421546936035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569343566894531 × 216)
    floor (0.569343566894531 × 65536)
    floor (37312.5)     		tx = 37312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421546936035156 × 216)
    floor (0.421546936035156 × 65536)
    floor (27626.5)     		ty = 27626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37312 / 27626 ti = "16/37312/27626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37312/27626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37312 ÷ 216
    37312 ÷ 65536     		x = 0.5693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27626 ÷ 216
    27626 ÷ 65536     		y = 0.421539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5693359375 × 2 - 1) × π
    0.138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43565054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421539306640625 × 2 - 1) × π
    0.15692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.492983075692657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43565054} λ = 0.43565054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492983075692657))-π/2
    2×atan(1.63719281280035)-π/2
    2×1.02247230264824-π/2
    2.04494460529649-1.57079632675     		φ = 0.47414828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43565054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47414828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.166695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37312 KachelY 27626 0.43565054 0.47414828 24.960937 27.166695
    Oben rechts KachelX + 1 37313 KachelY 27626 0.43574642 0.47414828 24.966431 27.166695
    Unten links KachelX 37312 KachelY + 1 27627 0.43565054 0.47406298 24.960937 27.161808
    Unten rechts KachelX + 1 37313 KachelY + 1 27627 0.43574642 0.47406298 24.966431 27.161808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47414828-0.47406298) × R
    8.52999999999549e-05 × 6371000     		dl = 543.446299999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47414828-0.47406298) × R
    8.52999999999549e-05 × 6371000     		dr = 543.446299999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43565054-0.43574642) × cos(0.47414828) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.889681923319867 × 6371000     		do = 543.46351958946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43565054-0.43574642) × cos(0.47406298) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.889720866429877 × 6371000     		du = 543.487308045845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47414828)-sin(0.47406298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889681923319867-0.889720866429877)×R²
    abs(0.43574642-0.43565054)×3.89431100100701e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.89431100100701e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.89431100100701e-05×40589641000000     		ar = 295349.702959148m²