Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37311 / 38317
↖ ↑ ↗
← S 29.137768°
E 24.955444°		 ← 533.49 m → S 29.137768°
E 24.960937°		 →
↑
533.51 m
↓
↑
533.51 m
↓
S 29.142566°
E 24.955444°		 ← 533.47 m →
284 616 m²		 S 29.142566°
E 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569328308105469 y=0.584678649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569328308105469 × 216)
    floor (0.569328308105469 × 65536)
    floor (37311.5)     		tx = 37311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584678649902344 × 216)
    floor (0.584678649902344 × 65536)
    floor (38317.5)     		ty = 38317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37311 / 38317 ti = "16/37311/38317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37311/38317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37311 ÷ 216
    37311 ÷ 65536     		x = 0.569320678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38317 ÷ 216
    38317 ÷ 65536     		y = 0.584671020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569320678710938 × 2 - 1) × π
    0.138641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43555467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584671020507812 × 2 - 1) × π
    -0.169342041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.532003711983383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43555467} λ = 0.43555467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532003711983383))-π/2
    2×atan(0.587426755642121)-π/2
    2×0.531123167037818-π/2
    1.06224633407564-1.57079632675     		φ = -0.50854999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43555467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.955444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50854999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.137768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37311 KachelY 38317 0.43555467 -0.50854999 24.955444 -29.137768
    Oben rechts KachelX + 1 37312 KachelY 38317 0.43565054 -0.50854999 24.960937 -29.137768
    Unten links KachelX 37311 KachelY + 1 38318 0.43555467 -0.50863373 24.955444 -29.142566
    Unten rechts KachelX + 1 37312 KachelY + 1 38318 0.43565054 -0.50863373 24.960937 -29.142566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50854999--0.50863373) × R
    8.37399999999988e-05 × 6371000     		dl = 533.507539999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50854999--0.50863373) × R
    8.37399999999988e-05 × 6371000     		dr = 533.507539999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43555467-0.43565054) × cos(-0.50854999) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873451451802296 × 6371000     		do = 533.493464449575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43555467-0.43565054) × cos(-0.50863373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873410674792126 × 6371000     		du = 533.468558350466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50854999)-sin(-0.50863373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873451451802296-0.873410674792126)×R²
    abs(0.43565054-0.43555467)×4.07770101706895e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07770101706895e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07770101706895e-05×40589641000000     		ar = 284616.14219501m²