Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37311 / 27583
↖ ↑ ↗
← N 27.376645°
E 24.955444°		 ← 542.38 m → N 27.376645°
E 24.960937°		 →
↑
542.43 m
↓
↑
542.43 m
↓
N 27.371767°
E 24.955444°		 ← 542.41 m →
294 209 m²		 N 27.371767°
E 24.960937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569328308105469 y=0.420890808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569328308105469 × 216)
    floor (0.569328308105469 × 65536)
    floor (37311.5)     		tx = 37311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420890808105469 × 216)
    floor (0.420890808105469 × 65536)
    floor (27583.5)     		ty = 27583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37311 / 27583 ti = "16/37311/27583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37311/27583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37311 ÷ 216
    37311 ÷ 65536     		x = 0.569320678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27583 ÷ 216
    27583 ÷ 65536     		y = 0.420883178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569320678710938 × 2 - 1) × π
    0.138641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43555467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420883178710938 × 2 - 1) × π
    0.158233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497105649059982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43555467} λ = 0.43555467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497105649059982))-π/2
    2×atan(1.64395619197203)-π/2
    2×1.02430446317705-π/2
    2.0486089263541-1.57079632675     		φ = 0.47781260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43555467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.955444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47781260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.376645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37311 KachelY 27583 0.43555467 0.47781260 24.955444 27.376645
    Oben rechts KachelX + 1 37312 KachelY 27583 0.43565054 0.47781260 24.960937 27.376645
    Unten links KachelX 37311 KachelY + 1 27584 0.43555467 0.47772746 24.955444 27.371767
    Unten rechts KachelX + 1 37312 KachelY + 1 27584 0.43565054 0.47772746 24.960937 27.371767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47781260-0.47772746) × R
    8.51399999999836e-05 × 6371000     		dl = 542.426939999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47781260-0.47772746) × R
    8.51399999999836e-05 × 6371000     		dr = 542.426939999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43555467-0.43565054) × cos(0.47781260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888002895732582 × 6371000     		do = 542.381308438035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43555467-0.43565054) × cos(0.47772746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88804204310942 × 6371000     		du = 542.405219177034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47781260)-sin(0.47772746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888002895732582-0.88804204310942)×R²
    abs(0.43565054-0.43555467)×3.91473768371897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91473768371897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91473768371897e-05×40589641000000     		ar = 294208.718541406m²