Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37310 / 27466
↖ ↑ ↗
← N 27.945886°
E 24.949951°		 ← 539.56 m → N 27.945886°
E 24.955444°		 →
↑
539.62 m
↓
↑
539.62 m
↓
N 27.941033°
E 24.949951°		 ← 539.59 m →
291 168 m²		 N 27.941033°
E 24.955444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569313049316406 y=0.419105529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569313049316406 × 216)
    floor (0.569313049316406 × 65536)
    floor (37310.5)     		tx = 37310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419105529785156 × 216)
    floor (0.419105529785156 × 65536)
    floor (27466.5)     		ty = 27466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37310 / 27466 ti = "16/37310/27466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37310/27466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37310 ÷ 216
    37310 ÷ 65536     		x = 0.569305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27466 ÷ 216
    27466 ÷ 65536     		y = 0.419097900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569305419921875 × 2 - 1) × π
    0.13861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43545880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419097900390625 × 2 - 1) × π
    0.16180419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.508322883571075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43545880} λ = 0.43545880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508322883571075))-π/2
    2×atan(1.6625006484137)-π/2
    2×1.02927202686976-π/2
    2.05854405373953-1.57079632675     		φ = 0.48774773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43545880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.949951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48774773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.945886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37310 KachelY 27466 0.43545880 0.48774773 24.949951 27.945886
    Oben rechts KachelX + 1 37311 KachelY 27466 0.43555467 0.48774773 24.955444 27.945886
    Unten links KachelX 37310 KachelY + 1 27467 0.43545880 0.48766303 24.949951 27.941033
    Unten rechts KachelX + 1 37311 KachelY + 1 27467 0.43555467 0.48766303 24.955444 27.941033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48774773-0.48766303) × R
    8.46999999999931e-05 × 6371000     		dl = 539.623699999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48774773-0.48766303) × R
    8.46999999999931e-05 × 6371000     		dr = 539.623699999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43545880-0.43555467) × cos(0.48774773) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883390596370222 × 6371000     		do = 539.564172395926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43545880-0.43555467) × cos(0.48766303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883430286792949 × 6371000     		du = 539.588414820714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48774773)-sin(0.48766303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883390596370222-0.883430286792949)×R²
    abs(0.43555467-0.43545880)×3.96904227270012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.96904227270012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.96904227270012e-05×40589641000000     		ar = 291168.156163127m²