Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 3731 / 4053
↖ ↑ ↗
← N 79.259729°
W139.010010°		 ← 227.65 m → N 79.259729°
W138.999024°		 →
↑
227.64 m
↓
↑
227.64 m
↓
N 79.257682°
W139.010010°		 ← 227.69 m →
51 826 m²		 N 79.257682°
W138.999024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113876342773438 y=0.123703002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113876342773438 × 215)
    floor (0.113876342773438 × 32768)
    floor (3731.5)     		tx = 3731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123703002929688 × 215)
    floor (0.123703002929688 × 32768)
    floor (4053.5)     		ty = 4053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3731 / 4053 ti = "15/3731/4053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3731/4053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3731 ÷ 215
    3731 ÷ 32768     		x = 0.113861083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4053 ÷ 215
    4053 ÷ 32768     		y = 0.123687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113861083984375 × 2 - 1) × π
    -0.77227783203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.42618236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123687744140625 × 2 - 1) × π
    0.75262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36443963685965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42618236} λ = -2.42618236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36443963685965))-π/2
    2×atan(10.6380759613307)-π/2
    2×1.477069785849-π/2
    2.954139571698-1.57079632675     		φ = 1.38334324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42618236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.010010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38334324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.259729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3731 KachelY 4053 -2.42618236 1.38334324 -139.010010 79.259729
    Oben rechts KachelX + 1 3732 KachelY 4053 -2.42599062 1.38334324 -138.999024 79.259729
    Unten links KachelX 3731 KachelY + 1 4054 -2.42618236 1.38330751 -139.010010 79.257682
    Unten rechts KachelX + 1 3732 KachelY + 1 4054 -2.42599062 1.38330751 -138.999024 79.257682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38334324-1.38330751) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dl = 227.635830000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38334324-1.38330751) × R
    3.57300000000116e-05 × 6371000     		dr = 227.635830000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42618236--2.42599062) × cos(1.38334324) × R
    0.000191739999999996 × 0.186357205585118 × 6371000     		do = 227.649404045526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42618236--2.42599062) × cos(1.38330751) × R
    0.000191739999999996 × 0.186392309550045 × 6371000     		du = 227.692286190438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38334324)-sin(1.38330751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186357205585118-0.186392309550045)×R²
    abs(-2.42599062--2.42618236)×3.5103964927008e-05×R²
    0.000191739999999996×3.5103964927008e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.5103964927008e-05×40589641000000     		ar = 51826.0418005616m²