Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37306 / 38218
↖ ↑ ↗
← S 28.661671°
E 24.927978°		 ← 535.95 m → S 28.661671°
E 24.933471°		 →
↑
535.99 m
↓
↑
535.99 m
↓
S 28.666491°
E 24.927978°		 ← 535.92 m →
287 256 m²		 S 28.666491°
E 24.933471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569252014160156 y=0.583168029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569252014160156 × 216)
    floor (0.569252014160156 × 65536)
    floor (37306.5)     		tx = 37306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583168029785156 × 216)
    floor (0.583168029785156 × 65536)
    floor (38218.5)     		ty = 38218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37306 / 38218 ti = "16/37306/38218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37306/38218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37306 ÷ 216
    37306 ÷ 65536     		x = 0.569244384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38218 ÷ 216
    38218 ÷ 65536     		y = 0.583160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569244384765625 × 2 - 1) × π
    0.13848876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43507530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583160400390625 × 2 - 1) × π
    -0.16632080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.522512205858612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43507530} λ = 0.43507530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522512205858612))-π/2
    2×atan(0.59302886445907)-π/2
    2×0.535277897478696-π/2
    1.07055579495739-1.57079632675     		φ = -0.50024053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43507530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.927978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50024053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.661671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37306 KachelY 38218 0.43507530 -0.50024053 24.927978 -28.661671
    Oben rechts KachelX + 1 37307 KachelY 38218 0.43517117 -0.50024053 24.933471 -28.661671
    Unten links KachelX 37306 KachelY + 1 38219 0.43507530 -0.50032466 24.927978 -28.666491
    Unten rechts KachelX + 1 37307 KachelY + 1 38219 0.43517117 -0.50032466 24.933471 -28.666491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50024053--0.50032466) × R
    8.41299999999601e-05 × 6371000     		dl = 535.992229999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50024053--0.50032466) × R
    8.41299999999601e-05 × 6371000     		dr = 535.992229999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43507530-0.43517117) × cos(-0.50024053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877467220280555 × 6371000     		do = 535.946246723247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43507530-0.43517117) × cos(-0.50032466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.877426865347337 × 6371000     		du = 535.921598423579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50024053)-sin(-0.50032466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877467220280555-0.877426865347337)×R²
    abs(0.43517117-0.43507530)×4.03549332174125e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.03549332174125e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.03549332174125e-05×40589641000000     		ar = 287256.41846207m²