Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37303 / 26557
↖ ↑ ↗
← N 32.263911°
E 24.911499°		 ← 516.48 m → N 32.263911°
E 24.916992°		 →
↑
516.50 m
↓
↑
516.50 m
↓
N 32.259266°
E 24.911499°		 ← 516.51 m →
266 768 m²		 N 32.259266°
E 24.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569206237792969 y=0.405235290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569206237792969 × 216)
    floor (0.569206237792969 × 65536)
    floor (37303.5)     		tx = 37303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405235290527344 × 216)
    floor (0.405235290527344 × 65536)
    floor (26557.5)     		ty = 26557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37303 / 26557 ti = "16/37303/26557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37303/26557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37303 ÷ 216
    37303 ÷ 65536     		x = 0.569198608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26557 ÷ 216
    26557 ÷ 65536     		y = 0.405227661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569198608398438 × 2 - 1) × π
    0.138397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43478768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405227661132812 × 2 - 1) × π
    0.189544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.595472167080338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43478768} λ = 0.43478768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595472167080338))-π/2
    2×atan(1.81388720061996)-π/2
    2×1.06695389776886-π/2
    2.13390779553772-1.57079632675     		φ = 0.56311147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43478768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.911499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56311147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.263911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37303 KachelY 26557 0.43478768 0.56311147 24.911499 32.263911
    Oben rechts KachelX + 1 37304 KachelY 26557 0.43488355 0.56311147 24.916992 32.263911
    Unten links KachelX 37303 KachelY + 1 26558 0.43478768 0.56303040 24.911499 32.259266
    Unten rechts KachelX + 1 37304 KachelY + 1 26558 0.43488355 0.56303040 24.916992 32.259266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56311147-0.56303040) × R
    8.10699999999054e-05 × 6371000     		dl = 516.496969999397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56311147-0.56303040) × R
    8.10699999999054e-05 × 6371000     		dr = 516.496969999397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43478768-0.43488355) × cos(0.56311147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.845598242521899 × 6371000     		do = 516.481064865859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43478768-0.43488355) × cos(0.56303040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84564151651679 × 6371000     		du = 516.507496092697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56311147)-sin(0.56303040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845598242521899-0.84564151651679)×R²
    abs(0.43488355-0.43478768)×4.32739948909022e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32739948909022e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32739948909022e-05×40589641000000     		ar = 266767.731035872m²