Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37303 / 26547
↖ ↑ ↗
← N 32.310349°
E 24.911499°		 ← 516.22 m → N 32.310349°
E 24.916992°		 →
↑
516.24 m
↓
↑
516.24 m
↓
N 32.305706°
E 24.911499°		 ← 516.24 m →
266 500 m²		 N 32.305706°
E 24.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569206237792969 y=0.405082702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569206237792969 × 216)
    floor (0.569206237792969 × 65536)
    floor (37303.5)     		tx = 37303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405082702636719 × 216)
    floor (0.405082702636719 × 65536)
    floor (26547.5)     		ty = 26547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37303 / 26547 ti = "16/37303/26547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37303/26547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37303 ÷ 216
    37303 ÷ 65536     		x = 0.569198608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26547 ÷ 216
    26547 ÷ 65536     		y = 0.405075073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569198608398438 × 2 - 1) × π
    0.138397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43478768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405075073242188 × 2 - 1) × π
    0.189849853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.596430905072739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43478768} λ = 0.43478768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.596430905072739))-π/2
    2×atan(1.8156270771027)-π/2
    2×1.06735914759457-π/2
    2.13471829518915-1.57079632675     		φ = 0.56392197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43478768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.911499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56392197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.310349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37303 KachelY 26547 0.43478768 0.56392197 24.911499 32.310349
    Oben rechts KachelX + 1 37304 KachelY 26547 0.43488355 0.56392197 24.916992 32.310349
    Unten links KachelX 37303 KachelY + 1 26548 0.43478768 0.56384094 24.911499 32.305706
    Unten rechts KachelX + 1 37304 KachelY + 1 26548 0.43488355 0.56384094 24.916992 32.305706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56392197-0.56384094) × R
    8.10300000000375e-05 × 6371000     		dl = 516.242130000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56392197-0.56384094) × R
    8.10300000000375e-05 × 6371000     		dr = 516.242130000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43478768-0.43488355) × cos(0.56392197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.845165303854974 × 6371000     		do = 516.216631222941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43478768-0.43488355) × cos(0.56384094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.845208612021529 × 6371000     		du = 516.243083321413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56392197)-sin(0.56384094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845165303854974-0.845208612021529)×R²
    abs(0.43488355-0.43478768)×4.33081665550672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33081665550672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33081665550672e-05×40589641000000     		ar = 266499.601233616m²