Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37302 / 26550
↖ ↑ ↗
← N 32.296420°
E 24.906006°		 ← 516.30 m → N 32.296420°
E 24.911499°		 →
↑
516.31 m
↓
↑
516.31 m
↓
N 32.291776°
E 24.906006°		 ← 516.32 m →
266 573 m²		 N 32.291776°
E 24.911499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569190979003906 y=0.405128479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569190979003906 × 216)
    floor (0.569190979003906 × 65536)
    floor (37302.5)     		tx = 37302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405128479003906 × 216)
    floor (0.405128479003906 × 65536)
    floor (26550.5)     		ty = 26550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37302 / 26550 ti = "16/37302/26550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37302/26550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37302 ÷ 216
    37302 ÷ 65536     		x = 0.569183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26550 ÷ 216
    26550 ÷ 65536     		y = 0.405120849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569183349609375 × 2 - 1) × π
    0.13836669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43469181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405120849609375 × 2 - 1) × π
    0.18975830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.596143283675018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43469181} λ = 0.43469181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.596143283675018))-π/2
    2×atan(1.81510493899769)-π/2
    2×1.06723759443939-π/2
    2.13447518887879-1.57079632675     		φ = 0.56367886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43469181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.906006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56367886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.296420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37302 KachelY 26550 0.43469181 0.56367886 24.906006 32.296420
    Oben rechts KachelX + 1 37303 KachelY 26550 0.43478768 0.56367886 24.911499 32.296420
    Unten links KachelX 37302 KachelY + 1 26551 0.43469181 0.56359782 24.906006 32.291776
    Unten rechts KachelX + 1 37303 KachelY + 1 26551 0.43478768 0.56359782 24.911499 32.291776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56367886-0.56359782) × R
    8.10399999999767e-05 × 6371000     		dl = 516.305839999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56367886-0.56359782) × R
    8.10399999999767e-05 × 6371000     		dr = 516.305839999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43469181-0.43478768) × cos(0.56367886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.845295222391779 × 6371000     		do = 516.295983876317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43469181-0.43478768) × cos(0.56359782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.845338519249855 × 6371000     		du = 516.32242906771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56367886)-sin(0.56359782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845295222391779-0.845338519249855)×R²
    abs(0.43478768-0.43469181)×4.32968580759141e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32968580759141e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32968580759141e-05×40589641000000     		ar = 266573.458693026m²