Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37301 / 26556
↖ ↑ ↗
← N 32.268556°
E 24.900513°		 ← 516.51 m → N 32.268556°
E 24.906006°		 →
↑
516.50 m
↓
↑
516.50 m
↓
N 32.263911°
E 24.900513°		 ← 516.53 m →
266 782 m²		 N 32.263911°
E 24.906006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569175720214844 y=0.405220031738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569175720214844 × 216)
    floor (0.569175720214844 × 65536)
    floor (37301.5)     		tx = 37301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405220031738281 × 216)
    floor (0.405220031738281 × 65536)
    floor (26556.5)     		ty = 26556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37301 / 26556 ti = "16/37301/26556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37301/26556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37301 ÷ 216
    37301 ÷ 65536     		x = 0.569168090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26556 ÷ 216
    26556 ÷ 65536     		y = 0.40521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569168090820312 × 2 - 1) × π
    0.138336181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43459593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40521240234375 × 2 - 1) × π
    0.1895751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.595568040879578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43459593} λ = 0.43459593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595568040879578))-π/2
    2×atan(1.81406111321397)-π/2
    2×1.06699443208965-π/2
    2.1339888641793-1.57079632675     		φ = 0.56319254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43459593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.900513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56319254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.268556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37301 KachelY 26556 0.43459593 0.56319254 24.900513 32.268556
    Oben rechts KachelX + 1 37302 KachelY 26556 0.43469181 0.56319254 24.906006 32.268556
    Unten links KachelX 37301 KachelY + 1 26557 0.43459593 0.56311147 24.900513 32.263911
    Unten rechts KachelX + 1 37302 KachelY + 1 26557 0.43469181 0.56311147 24.906006 32.263911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56319254-0.56311147) × R
    8.10700000000164e-05 × 6371000     		dl = 516.496970000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56319254-0.56311147) × R
    8.10700000000164e-05 × 6371000     		dr = 516.496970000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43459593-0.43469181) × cos(0.56319254) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.845554962969445 × 6371000     		do = 516.508500551191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43459593-0.43469181) × cos(0.56311147) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.845598242521899 × 6371000     		du = 516.534937929861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56319254)-sin(0.56311147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845554962969445-0.845598242521899)×R²
    abs(0.43469181-0.43459593)×4.32795524543117e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.32795524543117e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.32795524543117e-05×40589641000000     		ar = 266781.903072754m²