Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37300 / 38761
↖ ↑ ↗
← S 31.245682°
E 24.895020°		 ← 522.19 m → S 31.245682°
E 24.900513°		 →
↑
522.17 m
↓
↑
522.17 m
↓
S 31.250378°
E 24.895020°		 ← 522.17 m →
272 666 m²		 S 31.250378°
E 24.900513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569160461425781 y=0.591453552246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569160461425781 × 216)
    floor (0.569160461425781 × 65536)
    floor (37300.5)     		tx = 37300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591453552246094 × 216)
    floor (0.591453552246094 × 65536)
    floor (38761.5)     		ty = 38761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37300 / 38761 ti = "16/37300/38761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37300/38761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37300 ÷ 216
    37300 ÷ 65536     		x = 0.56915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38761 ÷ 216
    38761 ÷ 65536     		y = 0.591445922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56915283203125 × 2 - 1) × π
    0.1383056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43450006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591445922851562 × 2 - 1) × π
    -0.182891845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.574571678845993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43450006} λ = 0.43450006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574571678845993))-π/2
    2×atan(0.562945938829738)-π/2
    2×0.512728150479859-π/2
    1.02545630095972-1.57079632675     		φ = -0.54534003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43450006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.895020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54534003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.245682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37300 KachelY 38761 0.43450006 -0.54534003 24.895020 -31.245682
    Oben rechts KachelX + 1 37301 KachelY 38761 0.43459593 -0.54534003 24.900513 -31.245682
    Unten links KachelX 37300 KachelY + 1 38762 0.43450006 -0.54542199 24.895020 -31.250378
    Unten rechts KachelX + 1 37301 KachelY + 1 38762 0.43459593 -0.54542199 24.900513 -31.250378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54534003--0.54542199) × R
    8.19600000000476e-05 × 6371000     		dl = 522.167160000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54534003--0.54542199) × R
    8.19600000000476e-05 × 6371000     		dr = 522.167160000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43450006-0.43459593) × cos(-0.54534003) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854950963645534 × 6371000     		do = 522.193592544395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43450006-0.43459593) × cos(-0.54542199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.854908447398377 × 6371000     		du = 522.167624140606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54534003)-sin(-0.54542199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854950963645534-0.854908447398377)×R²
    abs(0.43459593-0.43450006)×4.25162471566765e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25162471566765e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25162471566765e-05×40589641000000     		ar = 272665.565418095m²