Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3730 / 4054
↖ ↑ ↗
← N 79.257682°
W139.020996°		 ← 227.70 m → N 79.257682°
W139.010010°		 →
↑
227.76 m
↓
↑
227.76 m
↓
N 79.255634°
W139.020996°		 ← 227.75 m →
51 868 m²		 N 79.255634°
W139.010010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113845825195312 y=0.123733520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113845825195312 × 215)
    floor (0.113845825195312 × 32768)
    floor (3730.5)     		tx = 3730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123733520507812 × 215)
    floor (0.123733520507812 × 32768)
    floor (4054.5)     		ty = 4054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3730 / 4054 ti = "15/3730/4054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3730/4054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3730 ÷ 215
    3730 ÷ 32768     		x = 0.11383056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4054 ÷ 215
    4054 ÷ 32768     		y = 0.12371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.7723388671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.42637411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12371826171875 × 2 - 1) × π
    0.7525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36424788926117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42637411} λ = -2.42637411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36424788926117))-π/2
    2×atan(10.6360363313659)-π/2
    2×1.4770519173931-π/2
    2.95410383478619-1.57079632675     		φ = 1.38330751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42637411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.020996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38330751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.257682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3730 KachelY 4054 -2.42637411 1.38330751 -139.020996 79.257682
    Oben rechts KachelX + 1 3731 KachelY 4054 -2.42618236 1.38330751 -139.010010 79.257682
    Unten links KachelX 3730 KachelY + 1 4055 -2.42637411 1.38327176 -139.020996 79.255634
    Unten rechts KachelX + 1 3731 KachelY + 1 4055 -2.42618236 1.38327176 -139.010010 79.255634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38330751-1.38327176) × R
    3.57500000001121e-05 × 6371000     		dl = 227.763250000714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38330751-1.38327176) × R
    3.57500000001121e-05 × 6371000     		dr = 227.763250000714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42637411--2.42618236) × cos(1.38330751) × R
    0.000191749999999935 × 0.186392309550045 × 6371000     		do = 227.704161244407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42637411--2.42618236) × cos(1.38327176) × R
    0.000191749999999935 × 0.186427432926392 × 6371000     		du = 227.747069339546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38330751)-sin(1.38327176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186392309550045-0.186427432926392)×R²
    abs(-2.42618236--2.42637411)×3.51233763472569e-05×R²
    0.000191749999999935×3.51233763472569e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.51233763472569e-05×40589641000000     		ar = 51867.5262529972m²