Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3730 / 1904
↖ ↑ ↗
← N 68.911005°
W 16.083984°		 ← 1 758.25 m → N 68.911005°
W 16.040039°		 →
↑
1 758.91 m
↓
↑
1 758.91 m
↓
N 68.895187°
W 16.083984°		 ← 1 759.50 m →
3 093 696 m²		 N 68.895187°
W 16.040039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45538330078125 y=0.23248291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45538330078125 × 213)
    floor (0.45538330078125 × 8192)
    floor (3730.5)     		tx = 3730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23248291015625 × 213)
    floor (0.23248291015625 × 8192)
    floor (1904.5)     		ty = 1904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3730 / 1904 ti = "13/3730/1904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3730/1904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3730 ÷ 213
    3730 ÷ 8192     		x = 0.455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1904 ÷ 213
    1904 ÷ 8192     		y = 0.232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455322265625 × 2 - 1) × π
    -0.08935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28071848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232421875 × 2 - 1) × π
    0.53515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.68124294347461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28071848} λ = -0.28071848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68124294347461))-π/2
    2×atan(5.37222920026812)-π/2
    2×1.38676012609572-π/2
    2.77352025219145-1.57079632675     		φ = 1.20272393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28071848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.083984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20272393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.911005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3730 KachelY 1904 -0.28071848 1.20272393 -16.083984 68.911005
    Oben rechts KachelX + 1 3731 KachelY 1904 -0.27995149 1.20272393 -16.040039 68.911005
    Unten links KachelX 3730 KachelY + 1 1905 -0.28071848 1.20244785 -16.083984 68.895187
    Unten rechts KachelX + 1 3731 KachelY + 1 1905 -0.27995149 1.20244785 -16.040039 68.895187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20272393-1.20244785) × R
    0.000276080000000123 × 6371000     		dl = 1758.90568000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20272393-1.20244785) × R
    0.000276080000000123 × 6371000     		dr = 1758.90568000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28071848--0.27995149) × cos(1.20272393) × R
    0.000766989999999967 × 0.359817604079576 × 6371000     		do = 1758.24630795865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28071848--0.27995149) × cos(1.20244785) × R
    0.000766989999999967 × 0.36007517926074 × 6371000     		du = 1759.50494735308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20272393)-sin(1.20244785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359817604079576-0.36007517926074)×R²
    abs(-0.27995149--0.28071848)×0.000257575181164205×R²
    0.000766989999999967×0.000257575181164205×6371000²
    0.000766989999999967×0.000257575181164205×40589641000000     		ar = 3093696.35154685m²