Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37296 / 38238
↖ ↑ ↗
← S 28.758028°
E 24.873047°		 ← 535.51 m → S 28.758028°
E 24.878540°		 →
↑
535.48 m
↓
↑
535.48 m
↓
S 28.762844°
E 24.873047°		 ← 535.48 m →
286 749 m²		 S 28.762844°
E 24.878540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569099426269531 y=0.583473205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569099426269531 × 216)
    floor (0.569099426269531 × 65536)
    floor (37296.5)     		tx = 37296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583473205566406 × 216)
    floor (0.583473205566406 × 65536)
    floor (38238.5)     		ty = 38238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37296 / 38238 ti = "16/37296/38238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37296/38238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37296 ÷ 216
    37296 ÷ 65536     		x = 0.569091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38238 ÷ 216
    38238 ÷ 65536     		y = 0.583465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569091796875 × 2 - 1) × π
    0.13818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43411656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.16693115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.524429681843414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43411656} λ = 0.43411656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524429681843414))-π/2
    2×atan(0.591892835355508)-π/2
    2×0.534437023446713-π/2
    1.06887404689343-1.57079632675     		φ = -0.50192228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43411656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50192228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.758028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37296 KachelY 38238 0.43411656 -0.50192228 24.873047 -28.758028
    Oben rechts KachelX + 1 37297 KachelY 38238 0.43421244 -0.50192228 24.878540 -28.758028
    Unten links KachelX 37296 KachelY + 1 38239 0.43411656 -0.50200633 24.873047 -28.762844
    Unten rechts KachelX + 1 37297 KachelY + 1 38239 0.43421244 -0.50200633 24.878540 -28.762844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50192228--0.50200633) × R
    8.40499999998912e-05 × 6371000     		dl = 535.482549999307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50192228--0.50200633) × R
    8.40499999998912e-05 × 6371000     		dr = 535.482549999307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43411656-0.43421244) × cos(-0.50192228) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.87665935092993 × 6371000     		do = 535.508661971346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43411656-0.43421244) × cos(-0.50200633) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.876618910402519 × 6371000     		du = 535.483958815325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50192228)-sin(-0.50200633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87665935092993-0.876618910402519)×R²
    abs(0.43421244-0.43411656)×4.04405274105901e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.04405274105901e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.04405274105901e-05×40589641000000     		ar = 286748.929973537m²