Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37295 / 26607
↖ ↑ ↗
← N 32.031363°
E 24.867554°		 ← 517.80 m → N 32.031363°
E 24.873047°		 →
↑
517.83 m
↓
↑
517.83 m
↓
N 32.026706°
E 24.867554°		 ← 517.83 m →
268 142 m²		 N 32.026706°
E 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569084167480469 y=0.405998229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569084167480469 × 216)
    floor (0.569084167480469 × 65536)
    floor (37295.5)     		tx = 37295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405998229980469 × 216)
    floor (0.405998229980469 × 65536)
    floor (26607.5)     		ty = 26607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37295 / 26607 ti = "16/37295/26607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37295/26607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37295 ÷ 216
    37295 ÷ 65536     		x = 0.569076538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26607 ÷ 216
    26607 ÷ 65536     		y = 0.405990600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569076538085938 × 2 - 1) × π
    0.138153076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43402069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405990600585938 × 2 - 1) × π
    0.188018798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.590678477118332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43402069} λ = 0.43402069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590678477118332))-π/2
    2×atan(1.80521279556944)-π/2
    2×1.06492454000259-π/2
    2.12984908000517-1.57079632675     		φ = 0.55905275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43402069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.867554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55905275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.031363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37295 KachelY 26607 0.43402069 0.55905275 24.867554 32.031363
    Oben rechts KachelX + 1 37296 KachelY 26607 0.43411656 0.55905275 24.873047 32.031363
    Unten links KachelX 37295 KachelY + 1 26608 0.43402069 0.55897147 24.867554 32.026706
    Unten rechts KachelX + 1 37296 KachelY + 1 26608 0.43411656 0.55897147 24.873047 32.026706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55905275-0.55897147) × R
    8.12799999999614e-05 × 6371000     		dl = 517.834879999754m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55905275-0.55897147) × R
    8.12799999999614e-05 × 6371000     		dr = 517.834879999754m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43402069-0.43411656) × cos(0.55905275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.84775789695056 × 6371000     		do = 517.800155378311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43402069-0.43411656) × cos(0.55897147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.847801003712716 × 6371000     		du = 517.82648446144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55905275)-sin(0.55897147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84775789695056-0.847801003712716)×R²
    abs(0.43411656-0.43402069)×4.31067621569081e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31067621569081e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31067621569081e-05×40589641000000     		ar = 268141.798530664m²