Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37294 / 26921
↖ ↑ ↗
← N 30.557531°
E 24.862061°		 ← 525.96 m → N 30.557531°
E 24.867554°		 →
↑
525.99 m
↓
↑
525.99 m
↓
N 30.552800°
E 24.862061°		 ← 525.99 m →
276 657 m²		 N 30.552800°
E 24.867554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569068908691406 y=0.410789489746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569068908691406 × 216)
    floor (0.569068908691406 × 65536)
    floor (37294.5)     		tx = 37294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410789489746094 × 216)
    floor (0.410789489746094 × 65536)
    floor (26921.5)     		ty = 26921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37294 / 26921 ti = "16/37294/26921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37294/26921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37294 ÷ 216
    37294 ÷ 65536     		x = 0.569061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26921 ÷ 216
    26921 ÷ 65536     		y = 0.410781860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.569061279296875 × 2 - 1) × π
    0.13812255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43392482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410781860351562 × 2 - 1) × π
    0.178436279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.560574104156937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43392482} λ = 0.43392482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.560574104156937))-π/2
    2×atan(1.75167785721814)-π/2
    2×1.05206292523642-π/2
    2.10412585047284-1.57079632675     		φ = 0.53332952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43392482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.862061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53332952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.557531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37294 KachelY 26921 0.43392482 0.53332952 24.862061 30.557531
    Oben rechts KachelX + 1 37295 KachelY 26921 0.43402069 0.53332952 24.867554 30.557531
    Unten links KachelX 37294 KachelY + 1 26922 0.43392482 0.53324696 24.862061 30.552800
    Unten rechts KachelX + 1 37295 KachelY + 1 26922 0.43402069 0.53324696 24.867554 30.552800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53332952-0.53324696) × R
    8.25599999999538e-05 × 6371000     		dl = 525.989759999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53332952-0.53324696) × R
    8.25599999999538e-05 × 6371000     		dr = 525.989759999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43392482-0.43402069) × cos(0.53332952) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861119107847197 × 6371000     		do = 525.961019586367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43392482-0.43402069) × cos(0.53324696) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861161078686129 × 6371000     		du = 525.986654861484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53332952)-sin(0.53324696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861119107847197-0.861161078686129)×R²
    abs(0.43402069-0.43392482)×4.19708389323148e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19708389323148e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19708389323148e-05×40589641000000     		ar = 276656.852564494m²